Mandag den 6. september:

Efter en præsentation af faget "Analytisk mekanik og kaos" gennemgik jeg afsnittene 1.1 og 1.2 i lærebogen. I kan finde en pdf-fil med noter til dagens og onsdagens forelæsninger, svarende til hele kapitel 1 i lærebogen. Klik på "Undervisningsmateriale". Her vil jeg også indlægge de næste forelæsningsnoter, og linket skulle gerne virke på den måde at I får pdf filen at se i et nyt vindue. Vi fik også startet på regneøvelserne, opgave (derivations): 1.1 og 1.2. De to opgaver vil blive gennemgået på tavlen i timen fra 9.15-10 i Aud. 10 på onsdag af Asta og Asger. Under rubrikken "Opgaver" kan I se hvilke opgaver vi skal regne onsdag eftermiddag i Aud. 2 (1.3, 1.12 og 1.13). Forelæsningerne på onsdag fortsætter med afsnit 1.3, og jeg regner med at nå resten af kapitel 1.

Onsdag den 8. september:

I dag gennemgik jeg resten af kapitel 1, dvs. vi fik indført Lagrangefunktionen, L = T - V, og de tilhørende Lagranges ligninger. Jeg mangler at fortælle om Lagrangefunktionen for en ladet partikel i et elektromagnetisk (ikke-konservativt) felt. Det starter vi med på mandag. I næste uge regner jeg med at nå kapitel 2; første halvdel på mandag og resten på næste onsdag. Jeg vil overspringe eksempel 2 (Minimum surface of revolution) og eksempel 3 (The brachistochrone problem) i afsnit 2.2, samt hele afsnit 2.5 (Advantages of a variational principle formulation). Disse ting henvises til "kursorisk læsning". I afsnit 2.6 gør bogen meget ud af at bestemme den "generaliserede kraft" Q_j svarende til forskydningen dq_j. Jeg vil lægge vægten på det principielle indhold af afsnittet og at hvis systemet er uændret når q_j -> q_j + dq_j, så er den tilsvarende generaliserede bevægelsesmængde p_j en bevægelseskonstant (hvilket også indebærer at Q_j = 0).

Ved regneøvelsen i Aud. 2 præsenterede Frederik en løsning på raketopgaven 1.13, hvor det ikke blev helt klart hvilket masser der indgik de forskellige steder. Jeg vil ikke normalt udlevere løsninger til de opgaver vi regner, men Kim har en nedskrevet løsning til 1.13 som vil blive lagt ind her på hjemmsiden. 

Timeplanen om onsdagen giver stadigvæk anledning til diskussion, men jeg mener at være nået frem til et rimeligt kompromis: Vi opretholder timeplanen som den er (dvs. undgår en morgentime fra 8 til 9), men gennemgangen af onsdagens opgaver vil foregå i første regneøvelsetime om mandagen (15-16), og timen 9-10 om onsdagen vil blive benyttet til tavlegennemgang af mandagens opgaver. Det betyder at de to eftermiddagstimer i Aud. 2 bliver rene øvelses- lektiercafé-timer, hvor I kan arbejde med ugens tekst og opgaver med assistance fra mig og Kim. Auditorium 2 er helt klart ikke det bedste lokale til dette formål, men det fungerede dog bedre end frygtet. Det vil nok også være muligt at indkludere f.eks. sydenden af vandrehallen i vores øvelsesområde(?). 

Bemærk at mapperne "Forelæsninger" og "Regneøvelser" er blevet opdateret  (kapitel 2 og opgaver til næste uge).

Mandag den 13. september:

Vi er nu nået halvvejs igennem 2. kapitel, indtil det sidste eksempel i afsnit 2.4. De to nye metoder indført her er vigtige også inden for andre områder (især statistisk mekanik): "Euler-Lagrange variationsregning" og "Lagrange multiplikatorer".

Vi benytter 3. udgave af lærebogen, men der findes flere variationer af 3. udgave. Lige under ISBN nederst på 4. side af omslagssiderne står tallene 10 9 8 ... 3 2 1. Hvis serien  stopper ved de større tal er det en nyere udgave end min der når ned til 1. Hvis nyoptrykkene blev benyttet til at fjerne småfejl og trykfejl ville det være fint; men desværre kan der indsnige sig nye fejl. I de nyere udgave er metoden med Lagrange multiplikatorer diskuteret lidt mere detaljeret. Her starter bogen med bindinger som er uafhængige af (d/dt)q_j i ligning (2.20), men bogen har desværre fået vendt fortegnet foran λ_α i de tre efterfølgende ligninger (2.21)-(2.23). Ideen med opgaven på side 47 i de nyere udgave er fin, men den er behandlet meget ringe. I kan finde de korrekte ligninger og en mere detaljeret og rigtig diskussion af opgaven i den omdelte note (vi vender tilbage til denne opgave i regneøvelserne): Lagranges multiplikatorer og Hamiltons princip  Denne note erstatter første halvdel af bogens afsnit 2.4, som omhandler ikke-holonomiske bindinger, mens det sidste eksempel er i orden (se også foredragsgennemgangen af dette eksempel). Jeg tror at mange af disse fejl er udbedret i de nyeste genoptryk, men det ser ud til at de tre forfattere stadigvæk ønsker at holde fast i, at denne metode kan benyttes generelt for hastighedsafhængige bindinger - det er ikke rigtigt (se den artkel de henviser til). 

Afsnit 2.5 er  kursorisk læsning og på onsdag fortsætter jeg med afsnittene 2.6 og  2.7. I næste uge går vi videre med Kapitel 6 "Oscillations, afsnit 6.1 plus 1. side af 6.2 samt afsnit 6.4. Noten om Lagranges multiplikatorer blev omdelt ved forelæsningen, og på onsdag kommer teksterne til 4 øvelsesopgaver. I kan også finde disse ting under punktet "Undervisningsmateriale".  Dagens regneøvelser, 1.14, 1.19 og 1.23 gennemregnes på tavlen i Aud. 10 i  timen fra 9.15- 10 på onsdag.

Jeg har lige en bemærkning til onsdagens opgave 2.2: Der er ingen grund til at regne så generelt som bogen beder om. Det er helt fint at nøjes med at betragte en enkel ladet partikel i magnetfelt, dvs. benyt Lagrangefunktionen givet ved ligning 1.63 (og indfør cylinderkoordinater).

Onsdag den 15. september:

I dag er vi nået igennem resten af kapitel 2 (hvor afsnit 2.5 er henvist til kursorisk læsning). På mandag skal vi igennem to afsnit i Kapitel 6, afsnit 6.1 og 1. side af 6.2 samt afsnit 6.4. Jeg regner også med at vi når at starte på Kapitel 8 om "The Hamiltonian  Equations of Motion". Dagens opgaver bliver gennemregnet på tavlen i første regneøvelsestime på mandag (15-16).

Biografier for de to store bidragsydere til  videreudviklingen af den analytiske mekanik kan findes under punktet  med "Undervisningsmateriale". Forelæsningsnoterner til kapitel 6 og 8 er langt ind i mappen "Forelæsninger".

Mandag den 20. september:

I dag gennemgik jeg Kapitel 6 om "Oscillations". Opgivelserne fra dette kapitel omfatter 6.1, den første side af afsnit 6.2 (indtil "Proceeding as..."), samt afsnit 6.4. Jeg gennemgik også første halvdel af afsnit 8.1 i Kapitel 8 om Hamilton-formalismen. Her bliver Hamiltonfunktionen udledt ved en Legendre transformation af Lagrangefunktionen og Hamiltons ligninger bliver opstillet. På onsdag fortsætter jeg med kapitel 8, hvor jeg regner med at nå resten af afsnit 8.1 samt afsnit 8.2. I kapitel 8 springer vi over afsnit 8.3 og 8.4, samt sidste side (361). Vi vil formentlig nå igennem resten af kapitlet (8.5 og 8.6) på næste mandag, hvorefter vi fortsætter med kapitel 9.

Bogen indfører Einstein konventionen (at produkter skal summeres over et index der gentages) på side 139, og det betyder at bogen benytter sig af  denne konvention fra og med denne side.

Vi nåede ikke så langt med dagens opgaver fordi det meste af tiden gik med at regne sidste onsdags opgaver på tavlen. Jeg har to bemærkninger til dagens opgaver: Opgave 2.14 er meget tæt på at være den samme som den opgave der er gennemregnet i de udlevere noter. I opgaveteksten til 2.18 bliver der bedt om en  "bevægelseskonstant", men der er ingen hvis man udnytter alle bindinger og kun bibeholder en vinkelvariabel (dvs. udnytter at φ = ω t ). Der blev fremsat ønske om at udvide antallet af øvelsestimer med den time vi har fået stillet til rådighed onsdag morgen fra 8-9 i Aud. 10. Så, som en "forsøgsordning", vil Kim og jeg fremover møde op på skift i Aud. 10 kl 8.15 onsdag morgen og hjælpe jer med opgaveregningerne. Vi starter på ordningen i morgen (denne uges onsdag).

Onsdag den 22. september:

Ved forelæsningerne i dag nåede vi igennem resten af 8.1 samt afsnit 8.2. Jeg mangler lige det sidste eksempel i 8.2. Det starter vi med på mandag, hvor jeg også regner med at nå resten af kapitel 8 (dvs.afsnit 8.5 og 8.6 minus den sidste side 361). Fremmødet i morges til den ekstra regneøvelsestime kl 8.15 var rimelig stort, og vi vil fortsætte med denne ordning. I timen fra 9-10 fik vi klaret de to øvelsesopgaver samt 2.14. Jeppe vil gennemgå opgave 2.18, og Frederik opgave 6.4, i første regneøvelsestime på mandag. Næste onsdag går vi i gang med "kanoniske transformationer", dvs. Kapitel 9. Her skal vi igennem 9.1-9.6 samt 9.9, hvoraf jeg regner med at nå afsnittene 9.1- 9.3 på onsdag.

Mandag den 27. september:

I dag gennemgik jeg resten af det vi opgiver i Kapitel 8, dvs. afsnit 8.5 og 8.6. Som sagt overspringes afsnit 8.3 og 8.4. Bemærk også at ca. den sidste side i afsnit 8.6 diskuterer det relativistiske tilfælde, som derfor ikke høre med til pensum. "Mindste virkningers princip" blev illustreret med et lille eksempel (lodret fald), som I vil kunne finde som sidste side i  forelæsningsnoterne for kapitel 8. Jeg fik også introduceret torsdagens emne som er "kanoniske transformationer" fra kapitel 9. Her skal vi igennem afsnittene 9.1-9.6 samt 9.9. Jeg vil overspringe noget af  stoffet i 9.5 og 9.6, for i stedet at få tid til at diskutere Hamilton-Jacobi teorien, som er behandlet i afsnittene 10.1 og 10.2. På onsdag regner jeg med at nå de tre første afsnit 9.1-9.3.

Ved regneøvelsen fik vi gennemgået opgaverne fra sidste uge og vi nåede også frem til bevægelsesligningerne i opgave 6.4. Løsningen af disse Lagrangeligninger er besværlig, og som en hjælp kan I finde min version her....

Jeg har fået en email fra "Uddannelsesservice" om, at der har været problemer med angivelserne af vores eksamensdatoer på SIS. Problemerne skulle være løst nu, og eksamensdatoerne er, som de hele tiden har været, 1., 2., og 3. november.

Onsdag den 29. september:

Vi fik begyndt på kapitel 9, som behandler kanoniske transformationer af Hamiltonfunktionen. Disse transformationer er vigtige af mange grunde. Teorien opnår større fleksibilitet, det bliver lettere at foretage "perturbationsregninger", der bliver mulighed for at transformere til nye kanoniske variable, hvor bevægelsesligninger bliver lettere at løse, plus andre grunde som vil dukke op i de kommende forelæsninger. Jeg fik gennemgået de tre første afsnit af kapitlet, 9.1  - 9.3, samt startet lidt på afsnit 9.4. På tirsdag fortsætter vi med afsnit 9.4, hvor den kanoniske transformation foretages direkte ved at udnytte den "symplektiske" notation. Jeg regner også med at nå det meste af afsnit 9.5.

Jeg har en lille anmærkning til afsnit 9.2: Bogen  benytter sig af en vektor notation fra (9.29') til (9.31), men i alle de fire ligninger der optræder her, skal matricen i første led på højre  side af ligningerne erstattes af den tilsvarende transponerede matrix. -  Det er imidlertid helt unødvendigt at indføre en vektor notation på  dette sted; se min gennemregning på side 4 i forelæsningsnoterne til kapitel 9.

Mandag den 4. oktober:

I dag gennemgik jeg afsnit 9.4 som behandler kanoniske transformationer vha. den "symplektiske metode". Vi nåede også igennem afsnit 9.5 hvor Poisson-parenteser indføres. I afsnit 9.5 overlades en del til "kursorisk læsning" (vil ikke være eksamensrelevant). Det drejer sig om: (i) Bevis af Jacobi identiteten og Lagrangeparentes, side 391 til 393  (indtil: "Another important..."). (ii) Eksistens af generende funktion, side 395 og 396. På onsdag afsluttes kapitel 9 med gennemgang af afsnit 9.6 og 9.9. I afsnit 9.6 er der en lang diskussion af aktive versus passive transformationer (problemet er kun relevant for transformationer der afhænger eksplicit af t). Jeg vil ikke gå ind i den diskussion, og dermed er siderne 399(midt, fra "Conversely...) til 405(nederst, linien før ligning (9.116)) kursoriske.

Der er nogle rettelser til afsnit 9.5 og  9.6, som også gælder de nyere udgaver: Nederst på første side af afsnit 9.5 (side 388) skal transponeringen flyttes fra første til sidste led, og det gælder også den næste ligning (9.71), hvor det er det sidste og ikke det første M der skal transponeres. At transponeringen ændres fra første til sidste faktor, når u og v i ligning (9.68) erstattes af vektorer, indses ved en omhyggelig opskrivning af de enkelte matrixligninger med brug af  summationsindeks. - I ligningen før (9.74) skal det sidste u være et v (er blevet rettet i de nyere optryk). På trods af bogens omhyggelige diskussion af aktive/passive transformation i afsnit 9.6, er ligningen  før (9.119) ikke helt rigtig, eller, formuleret direkte, ligning (9.119) forudsætter at  u = u(q,p), dvs. at u ikke afhænger eksplicit af t. Med denne forudsætning er både ligningen før (9.119) og ligning (9.119) korrekte.

Som I måske allerede har opdaget, har jeg oprettet en mappe med navnet "Eksamen". Den vil komme til at indeholde alle meddelelser der er eksamensrelevante. Foreløbigt indeholder den en kort beskrivelse af eksamensforløbet plus "eksamensopgivelser".

Onsdag den 6. oktober:

Jeg gennemgik resten af afsnit 9.6 om Poissonparenteser, med de overspringelser der er nævnt på mandagens ugeseddel, og fortalte hvad jeg vil sige om "Liouville  teoremet" (afsnit 9.9). Bemærk at afsnit 9.7 og 9.8 ikke er med i eksamensopgivelserne. På mandag gennemgår jeg de første afsnit af Kapitel 10, om Hamilton-Jacobi teorien og anvendelsen af teorien på den harmoniske oscillator. Det tredie eksempel i 10.2, fra side 438(midt) er kursorisk læsning. Dermed er vi færdige med  "Analytisk mekanik"-delen af kurset og mangler kun Kapitel 11 om "kaos".  Her overspringer vi afsnit 11.6 (Hénon-Heiles Hamiltonian) og de sidste sider af afsnit 11.9, fra side 519(midt, fra "In the general case..") og afsnittet ud. Jeg regner med at introducere Kaos fænomenet på mandag og at kunne gennemgå resten af Kapitel 11 i de to timer på næste onsdag.

Næste uge vil altså blive benyttet til at gennemgå resten af stoffet og på de sidste regneøvelser. Ugen efter, som er den sidste, vil vi udnytte både forelæsnings- og regneøvelsestimerne til repetition. Det vil foregå på den måde, at jeg medbringer forelæsningsoverheads'ne og håber (forventer) at nogle af jer vil melde jer, mere eller mindre frivillige, til at fortælle hvad der står på dem.

Mandag den 11. oktober:

I dag gennemgik jeg afsnit 1 og 2 i Kapitel 10, om Hamilton-Jacobi teorien og dens anvendelse på den harmoniske oscillator. Som sagt er det tredie eksempel i 10.2, dvs. resten af afsnittet fra side 438(midt), kursorisk læsning. Vi er også kommet godt i gang med kapitel 11 om "Classical Chaos", hvor vi nåede til og med afsnit 11.5. På onsdag gennemgås afsnit 11.7 og resten af kapitlet indtil midt på side 519.

Onsdag er sidste dag med forelæsninger og regneøvelser. Alle timerne i næste uge vil vi benytte til jeres gennemgang af forelæsningsoverheads'ne.

I kan finde en masse på nettet om kaos og fraktaler. Her er et par indgangslinks: Chaos Theory: A Brief Introduction og en kort gennemgang af kaos teorien i  encyklopædien Wikipedia. Der er iøvrigt også et meget læseværdigt afsnit i "Den store danske encyklopædi" skrevet af Tomas Bohr.

Heidar har lavet et Maple program som behandler dobbeltpendulet. Bevægelsesligningerne er opstillet uden brug af den "små vinkler" tilnærmelse vi gjorde i opgave 6.4. Heidar har lavet animeret plot af Maple's numeriske løsninger, som giver mulighed for at iagttage kaotiske  forløb. I kan downloade Maple programmet her.....

Onsdag den 13. oktober:

Jeg gennemgik resten af Kapitel 11 om "vejen til kaos" gennem bifurkationer samt præsenterede fraktaler og deres dimensioner. Som sagt i mandags kan I finde en masse på nettet om kaos og fraktaler. Jeg har også et link til "the Mandelbrot set", og her er et download-link til timers underholdning: XaoS. Der bliver ingen regneøvelser i "kaos", men jeg kan kun opfordre til at I selv forsøger at undersøge nogle af de modeller der er taget med i forelæsningerne og i de øvelsesopgaver der er til kapitlet. Forsøg at skrive Maple (eller Mathematica) programmer der løser differentialligningerne.

Hermed er vi færdige med vores pensum. I næste uge går vi i gang med jeres gennemgang af foredragsoverheads'ne.  Emnerne for overheads-gennemgangen vil komme til at svare til eksamensspørgsmålene som I kan finde her og på "Eksamen"-siden.

Jeg er ved at udarbejde lister med eksamensrækkefølgen. Første udkast vil dukke op i morgen (dvs. torsdag) på siden der er kaldt "Eksamen i Analytisk mekanik og kaos".

Mandag den 18. oktober:

Vi er nu startet på jeres repetition af overheads-forelæsningerne, og i dag nåede vi igennem de fire første eksamensspørgsmål. Jeg regner med at vi når igennem de resterende fire spørgsmål på onsdag. Vi starter kl. 9.15, og vi får brug for den ene og nok også en del af den anden eftermiddagstime.

Jeg  har udarbejdet en liste over eksamensrækkefølgen, som I kan finde i mappen om "Eksamen i Analytisk ...". Hvis I har vanskeligheder med det tidspunkt I har fået tildelt er det vigtigt at give besked til mig hurtigst muligt, og hvis I eventuelt finder frem til en anden som I kan bytte med vil en ændring kunne klares helt smertefrit. Der kan altså stadigvæk nå at komme ændringer i rækkefølgen, så husk at checke listen igen når vi nærmer os eksamensdagene.

Onsdag den 20. oktober:

Vi fik klaret at gennemgå de sidste forelæsnings-overheads i dag, svarende til de fire sidste eksamensspørgsmål.

Vi aftalte at der er spørgetime på næste fredag (den 29. oktober) og at jeg vil forsøge at få fat i D317. Tidspunktet vil blive indsat her og i eksamensmappen, når jeg har fået reserveret lokalet (det bliver først i næste uge).

Spørgetime: Fredag den 29. oktober kl: 13.00 i D317.

I  kan finde alt vedrørende den mundtlige eksamen under rubrikken  "Eksamen". Bemærk at den foreløbige eksamensliste ikke er blevet ændret de sidste par dage, men check lige listen igen når vi kommer tættere på eksamensdagene (listen er blevet ændret i dag, onsdag den 27. oktober).

Hvis I har spørgsmål er I meget velkomne til at kontakte mig på mit kontor D410 - jeg er dog på "efterårsferie" torsdag og fredag (den 21. og 22.) - men ellers ses vi til spørgetimen.

Jeg er blevet opfordret af Christina Schneider og Aksel Walløe Hansen at minde jer om at udfylde spørgeskemaet i mappen "Kursusevaluering": "Bachelor - Dansk - 7,5  ECTS". Evalueringen er åben til og med den 31. oktober.