MatIntro

John Niclasen

Indhold

1. Uge 1

1.1 Talmængder

Symbol	Mængden af
\mathbb{N}	Naturlige tal {1, 2, 3, ...}
\mathbb{Z}	Hele tal {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
\mathbb{Q}	Rationale tal \{m/n\quad \vert \quad m,n\in Z,\quad n\not =0\}
\mathbb{R}	Reelle tal -----------> (tallinien)
\mathbb{C}	Komplekse tal \{a+ib\quad \vert \quad a,b\in R,\quad i^2=-1\}

1.2 Regneregler for komplekse tal

Dersom z = a + ib og w = c + id er to komplekse tal, så er

\displaylines{z+w=(a+c)+i(b+d)\cr }

\displaylines{z-w=(a-c)+i(b-d)\cr }

\displaylines{z\cdot w=(ac-bd)+i(ad+bc)\cr }

\displaylines{{z\over w}={ac+bd\over c^2+d^2}+i{bc-ad\over c^2+d^2}\cr }

\displaylines{z^{-1}={a\over a^2+b^2}-i{b\over a^2+b^2}\quad (z\not =0)\cr }

1.3 Polarformen

\displaylines{z=a+ib=r\cos \theta +ir\sin \theta \cr }

\displaylines{r=\sqrt {a^2+b^2}\quad ;\quad \cos \theta ={a\over r},\quad \sin \theta ={b\over r}\cr }

1.4 Teorem

\displaylines{z_1=r_1(\cos \theta _1+i\sin \theta _1)\quad ;\quad z_2=r_2(\cos \theta _2+i\sin \theta _2)\cr }

\displaylines{z=z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2(\cos (\theta _1+\theta _2)+i\sin (\theta _1+\theta _2))\cr }

1.5 Algebraiske egenskaber ved komplekse tal

For alle komplekse tal z1, z2, z3, gælder:

Lov	Gældende
Kommutative lov	z_1+z_2=z_2+z_1 and z_1z_2=z_2z_1
Associative lov	(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3) and (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)
Distributive lov	z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3
Nul- og enhedselement	z_1+0=z_1 and z_1\cdot 1=z_1
Modsatte tal	For hvert komplekst tal z, findes der et komplekst tal -z, sådan at z+(-z)=0
Inverse tal	For hvert komplekst tal z\not =0, findes der et komplekst tal w, sådan at zw=1

1.6 Eksponentialer

z=a+ib

e^z=e^a(\cos b+i\sin b)

e^z er altså et komplekst tal med modulus e^a og argument b.

e^{z+w}=e^z\cdot e^w

1.6.1 Kompakt polar form:

\displaylines{z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }}

1.6.2 de Moivres formel

For alle naturlige tal n er

\displaylines{(\cos \theta +i\sin \theta )^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )}

1.7 Algebraens fundamentalteorem

Lad

\displaylines{P(z)=c_nz^n+c_{n-1}z^{n-1}+c_{n-2}z^{n-2}+\ldots c_1z+c_0}

være et komplekst n-te grads polynomium. Da findes de komplekse tal r_1,r_2,\ldots ,r_n sådan at

\displaylines{P(z)=c_n(z-r_1)(z-r_2)\ldots (z-r_n)}

for alle komplekse tal z. Bortset fra rækkefølgen er faktorerne (z-r_1),(z-r_2),\ldots ,(z-r_n) entydigt bestemt.

2. Uge 2

2.1 Førsteordens, linære differentialligninger

\displaylines{y'(x)+f(x)y(x)=g(x)}

eller bare

\displaylines{y'+f(x)y=g(x)}

2.1.1 Løsninger

\displaylines{y=e^{-F(x)}\left ( \int e^{F(x)}g(x)dx+C\right ) }

Hvis y(c)=d er der én løsning

\displaylines{y(x)=e^{-\int _c^xf(t)dt}\left ( \int _c^xg(t)e^{\int _c^tf(s)ds}dt+d\right ) }

2.2 Separable differentialligninger

\displaylines{q(y)y'=p(x)}

2.2.1 Løsninger

Der integreres på begge sider mht. x:

\displaylines{\int q(y)y'dx=\int p(x)dx\cr y=y(x)\quad \Rightarrow \quad dy=y'(x)dx\cr \Rightarrow \quad \int q(y)dy=\int p(x)dx\cr \Leftrightarrow \quad \int q(y)dy=Q(y)+C_1\quad \land \cr \quad \int p(x)dx=P(x)+C_2\cr }

, hvor Q og P er stamfunktioner til q og p. Dermed er

\displaylines{Q(y)=P(x)+C}

Denne ligning løses for y, og man har svaret.

2.3 Andenordens, homogene, linære differentialligninger med konstante koefficienter

\displaylines{y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0}

eller bare

\displaylines{y''+py'+qy=0}

2.3.1 Løsninger

Den karakteristiske andengradsligning:

\displaylines{r^2+pr+q=0}

To reelle rødder:

\displaylines{y=Ce^{r_1x}+De^{r_2x}}

Én reel rod:

\displaylines{y=Ce^{r_1x}+Dxe^{r_1x}}

To komplekse rødder:

\displaylines{y=e^ax(Ccos(bx)+Dsin(bx))\quad ;\quad r_1=a+ib\quad ,\quad r_2=a-ib}

2.4 Andenordens, inhomogene, linære differentialligninger med konstante koefficienter

\displaylines{y''+py'+qy=f(x)}

2.4.1 Løsninger

Antag af y_p er en partikulær løsning, da er andre løsninger givet ved:

\displaylines{y=y_p+y_h}

, hvor y_h er en vilkårlig løsning til den homogene differentialligning

\displaylines{y''+py'+qy=0}

3. Uge 3

3.1 Konvergens af følger

Definition: Følgen \{a_n\} konvergerer mod et tal a, dersom der for ethvert reelt tal \varepsilon >0 (uanset hvor lille), findes et tal N\in \mathbb{N} sådan at \vert a_n-a\vert <\varepsilon for alle n\ge N. I så fald skriver vi

\displaylines{\lim _{n\to \infty }a_n=a}

En følge, som konvergerer mod et tal, kaldes konvergent, mens en følge, som ikke konvergerer, kaldes divergent. I stedet for \lim _{n\to \infty }a_n=a, skriver man af og til «a_n\to a når n\to \infty ».

3.2 Kontinuitet

Definition: En funktion f er kontinuert i et punkt a\in D_f dersom flg. gælder: For ethvert \varepsilon >0 (uanset hvor lille), findes der et \delta >0, sådan at når x\in D_f og \vert x-a\vert <\delta , så er \vert f(x)-f(a)\vert <\varepsilon .

3.3 Skæringssætningen

Antag at f:\{a,b\}\to \mathbb{R} er en kontinuert funktion, hvor f(a) og f(b) har modsatte fortegn. Da findes der et tal c\in \lbrack a;b\rbrack sådan at f(c)=0.

3.4 Ekstremalværdisætningen

Lad f:\{a,b\}\to \mathbb{R} være en kontinuert funktion defineret på et lukket, begrænset interval. Da har f både maksimums- og minimumspunkt(er).

3.5 Grænseværdier

\displaylines{\lim _{x\to a}f(x)=b}

eller

\displaylines{f(x)\to b\quad \vert \quad x\to a}

At f(x) går mod b når x nærmer sig a ovenfra skrives

\displaylines{\lim _{x\to a^+}f(x)=b}

At f(x) går mod b når x nærmer sig a nedenfra skrives

\displaylines{\lim _{x\to a^-}f(x)=b}

4. Uge 4

4.1 Differentiation

4.1.1 Regler

\displaylines{(cf)'(a)=c\cdot f'(a)}

\displaylines{(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)}

\displaylines{(f-g)'(a)=f'(a)-g'(a)}

\displaylines{(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)}

\displaylines{(f/g)'(a)={f'(a)g(a)-f(a)g'(a)\over g(a)^2}}

For sammensatte funktioner (også kaldet kædereglen):

\displaylines{(f\circ g)'(a)=f'(g(a))g'(a)}

4.2 Middelværdisætningen

Antag at funktionen f:\{a,b\}\to \mathbb{R} er kontinuert, og at den er differentiabel i alle indre punkter x\in \rbrack a;b\lbrack . Da findes der et punkt c\in \rbrack a;b\lbrack sådan at

\displaylines{f'(c)={f(b)-f(a)\over b-a}}

4.3 L'Hôspital's regel

4.3.1 [0/0]-udtryk

Antag at

\displaylines{\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0}

og at grænseværdien

\displaylines{\lim _{x\to a}{f'(x)\over g'(x)}}

eksisterer (vi tillader, at den er lig \infty eller -\infty ). Da eksisterer også grænseværdien \lim _{x\to a}f(x)/g(x) og

\displaylines{\lim _{x\to a}{f(x)\over g(x)}=\lim _{x\to a}{f'(x)\over g'(x)}}

4.3.2 [\infty /\infty ]-udtryk

Antag at

\displaylines{\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=\infty }

og at grænseværdien

\displaylines{\lim _{x\to a}{f'(x)\over g'(x)}}

eksisterer (vi tillader, at den er lig \infty eller -\infty ). Da eksisterer også grænseværdien \lim _{x\to a}f(x)/g(x) og

\displaylines{\lim _{x\to a}{f(x)\over g(x)}=\lim _{x\to a}{f'(x)\over g'(x)}}

5. Uge 5

5.1 Taylor-polynomiet

Definition: Polynomiet kaldet Taylor-polynomiet til f af grad n omkring punktet a betegnes T_nf og er defineret ved

\displaylines{T_nf(x)=\sum _{k=0}^n{f^{(k)}(a)\over k!}(x-a)^k}

5.2 Taylor's formel med restled

Antag at f og dens n+1 første afledte er kontinuerte på intervallet \lbrack a,b\rbrack . Da er

\displaylines{f(b)=T_nf(b)+{1\over n!}\int _a^bf^{(n+1)}(t)(b-t)^ndt}

, hvor T_nf er Taylor-polynomiet til f omkring punktet a. Med andre ord er

\displaylines{f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+{f''(a)\over 2}(b-a)^2+\ldots +{f^{(n)}(a)\over n!}(b-a)^n+{1\over n!}\int _a^bf^{(n+1)}(t)(b-t)^ndt\cr }

Restleddet R_nf=f-T_nf er givet ved

\displaylines{R_nf(x)={1\over n!}\int _a^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt}

Antag at f og dens n+1 første afledte er kontinuerte på intervallet \lbrack a,x\rbrack . Lad M være et tal sådan at \vert f^{(n+1)}(t)\vert \le M for alle t mellem a og x. Da er

\displaylines{\vert R_nf(x)\vert \le {M\over (n+1)!}\vert x-a\vert ^{n+1}}

5.3 Funktioner af flere variable

Definition: En funktion af n variable defineret på en delmængde A af \mathbb{R} ^n er en funktion f:A\to R.

5.4 Kontur

En kontur fås ved at sætte alle variable på nær én til faste værdier.

5.5 Niveaukurve

En niveaukurve til en funktion i højden c er kurven i variable-planet, som fremkommer når man løser ligningen f(x,y,\ldots )=c.

5.6 Andre koordinatsystemer

5.6.1 Polarkoordinater

Polarkoordinater (r,\theta ) for planet er givet ved

\displaylines{x=r\cos \theta \cr y=r\sin \theta \cr }

5.6.2 Cylinderkoordinater

Cylinderkoordinater (r,\theta ,z) for rummet er givet ved

\displaylines{x=r\cos \theta \cr y=r\sin \theta \cr z=z\cr }

5.6.3 Kuglekoordinater

Kuglekoordinater (\rho ,\theta ,\phi ) for rummet er givet ved

\displaylines{x=\rho \cos \theta \sin \phi \cr y=\rho \sin \theta \sin \phi \cr z=\rho \cos \phi \cr }

6. Uge 6

6.1 Mængdebegreber

Randen til en mængde A\subseteq \mathbb{R} ^n er mængden af alle randpunkter og skrives \partial A.

Det indre af en mængde A er A\setminus \partial A.

Tillukningen til en mængde A er \overline A=A\cup \partial A.

6.2 Retningsafledt

\displaylines{f'(\bar a,\bar r)=\lim _{h\to 0}{f(\bar a+h\bar r)-f(\bar a)\over h}}

6.3 Partiel afledt

Den i-te enhedsvektor e_i i \mathbb{R} ^n er vektoren

\displaylines{\bar e_i=(0,0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}

(1-tallet står på den i-te plads.)

\displaylines{{\partial f\over \partial x_i}(\bar a)=f'(\bar a,\bar e_i)}

Ved dobbelt partiel afledt efter to forskellige variable, er rækkefølgen ligegyldig. F.eks. for en funktion f af to variable betyder det:

\displaylines{{\partial ^2f\over \partial x\partial y}(x,y)={\partial ^2f\over \partial y\partial x}(x,y)}

6.4 C¹-funktioner

Definition: En funktion f defineret på en åben mængde A er C¹ dersom de partielt afledte eksisterer på A og er kontinuerte.

C¹-funktioner medfører differentiabilitet og kontinuitet

7. Uge 7

7.1 Gradienten

Definition: Gradienten til en funktion f af n variable i et indre punkt \bar a i definitionsmængden er vektoren

\displaylines{\nabla f(a)=\left ( {\partial f\over \partial x_1}(\bar a),\ldots ,{\partial f\over \partial x_n}(\bar a)\right ) }

Eksempelvis har vi for en funktion af to variable, at gradienten til f i (x,y) er givet ved

\displaylines{\nabla f(x,y)=\left ( {\partial f\over \partial x}(x,y),{\partial f\over \partial y}(x,y)\right ) }

Retningsafledt ved brug af gradienten:

\displaylines{f'(\bar a,\bar r)=\nabla f(\bar a)\cdot \bar r}

7.2 Tangenthyperplanen til en graf

\displaylines{h(\bar x)=f(\bar a)+\nabla f(\bar a)\cdot (\bar x-\bar a)}

7.3 Tangenthyperplanen til en niveaumængde

\displaylines{\nabla f(\bar a)\cdot (\bar x-\bar a)=0}

For en funktion af to variable hedder det tangentlinien til en niveaukurve.

7.4 Differentierbarhed

Definition: En funktion f er differentierbar i \bar a dersom der findes et entydigt tangentplan h til f i \bar a.

7.5 Kædereglen

En funktion f af m variable er defineret som en C^1 funktion. Ligeledes er m funktioner g_1\ldots g_m af n variable defineret som C^1 funktioner:

\displaylines{f(u_1,\ldots ,u_m),g_1(x_1,\ldots ,x_n),\ldots ,g_m(x_1,\ldots ,x_n)}

En funktion h af n variable er nu defineret som den sammensatte funktion af f og g_1\ldots g_m:

\displaylines{h(x_1,\ldots ,x_n)=f(g_1(x_1,\ldots ,x_n),\ldots ,g_m(x_1,\ldots ,x_n))}

Den i-te partiel afledte af h kan nu findes på flg. måde:

\displaylines{{\partial h\over \partial x_i}(\bar a)={\partial f\over \partial u_1}(\bar b){\partial g_1\over \partial x_i}(\bar a)+{\partial f\over \partial u_2}(\bar b){\partial g_2\over \partial x_i}(\bar a)+\ldots +{\partial f\over \partial u_m}(\bar b){\partial g_m\over \partial x_i}(\bar a)}

, hvor

\displaylines{\bar a=(a_1,\ldots ,a_n)\in \mathbb{R} ^n\quad ;\quad \bar b=(g_1(\bar a),\ldots ,g_m(\bar a))\in \mathbb{R} ^m}

7.6 Hessematricen

\displaylines{Hf(x)=\left [ \matrix{{\partial ^2f\over \partial x_1\partial x_1}(x)&\cdots &{\partial ^2f\over \partial x_1\partial x_n}(x)\cr \vdots &\ddots &\vdots \cr {\partial ^2f\over \partial x_n\partial x_1}(x)&\cdots &{\partial ^2f\over \partial x_n\partial x_n}(x)\cr }\right ] \cr }

8. Uge 8

8.1 Lokale og globale ekstrema

For at finde ekstrema for funktioner af flere variable, undersøger man 3 typer kritiske punkter:

1. Stationære: her er gradienten defineret og lig med nul.
2. Singulære: her er gradienten ikke defineret.
3. Randen: alle punkter på randen.

8.2 Randpunkter

Randen kan ofte undersøges ved at omskrive til en funktion af færre variable, også kaldet parametisering.

8.3 Førsteafledet Testen

Lad f:A\to \mathbb{R} være en funktion af n variable. Antag at f har et lokalt maksimum eller minimum i \bar a. Da er enten

1. \bar a et randpunkt til A eller
2. gradienten \nabla f eksisterer ikke i \bar a eller
3. \nabla f(\bar a)=0.

8.4 Andenafledet Testen

Lad f(x,y) være en C^2-funktion og antag at (a,b) er et stationært punkt for f. Lad

\displaylines{A={\partial ^2f\over \partial x^2}(a,b)\quad ;\quad B={\partial ^2f\over \partial x\partial y}(a,b)\quad ;\quad C={\partial ^2f\over \partial y^2}(a,b)}

og lad D være givet ved D=AC-B^2. Da gælder:

1. Hvis D<0, så er (a,b) et sadelpunkt.
2. Hvis D>0\land A>0, så er (a,b) et lokalt minimum.
3. Hvis D>0\land A<0, så er (a,b) et lokalt maksimum.

Dersom D=0, giver testen ingen konklusion.

Tallet D er determinanten til Hessematrisen i (a,b).

\displaylines{D=\det (Hf(a,b))=\left | \matrix{{\partial ^2f\over \partial x^2}(a,b)&{\partial ^2f\over \partial x\partial y}(a,b)\cr {\partial ^2f\over \partial y\partial x}(a,b)&{\partial ^2f\over \partial x^2}(a,b)\cr }\right | =\left | \matrix{A&B\cr B&C\cr }\right | =AC-B^2\cr }

8.5 Lagranges multiplikationsmetode

Lad f og g være C^1-funktioner af n variable defineret på en åben mængde A. Lad \bar a\in A og g(\bar a)=c. Lad S være mængden givet ved

\displaylines{S=\{\bar x\in A\subseteq \mathbb{R} ^n\quad \vert \quad g(\bar x)=c\}}

Hvis f har et lokalt ekstremalpunkt på S i \bar a, så er enten

1. \nabla g(\bar a)=0 eller
2. der findes et tal \lambda , sådan at \nabla f(\bar a)=\lambda \nabla g(\bar a).

9. Uge 9

9.1 Plan- og rumintegraler

For planintegraler over en mængde D\subseteq \mathbb{R} ^2 benyttes enten notationen \int _Df(x,y)dA, \int \int _Df(x,y)dA, eller mere kortfattet blot \int _Df. For rumintegraler over en mængde R\subseteq \mathbb{R} ^3, skrives ligeledes enten \int _Rf(x,y,z)dV, \int \int \int _Rf(x,y,z)dV, eller igen blot \int _Rf.

Hvis f(x,y)\ge 0, er

\displaylines{\int _Df(x,y)dA}

rumfanget af den mængde, der ligger over D i XY-planen og under grafen for f.

\displaylines{Areal(D)=\int _D1dA}

For R\subseteq \mathbb{R} ^3:

\displaylines{Rumfang(R)=\int _R1dV}

Planintegraler er specielt nemme at udregne, hvis D\subseteq \mathbb{R} ^2 er en af flg. to:

\displaylines{D=\{(x,y)\vert  a\le x\le b,u(x)\le y\le o(x)\}\quad (1)\cr D=\{(x,y)\vert  c\le y\le d,v(y)\le x\le h(y)\}\quad (2)\cr }

, hvor v,h:\lbrack c,d\rbrack \to \mathbb{R} eller u,o:\lbrack a,b\rbrack \to \mathbb{R} er kontinuerte funktioner, der opfylder v\le h\land u\le o. (Her står v,h,u,o for henholdsvis venstre, højre, under og over.)

På samme måde for rumintegraler:

\displaylines{R=\{(x,y,z)\vert a\le x\le b,u(x)\le y\le o(x),b(x,y)\le z\le t(x,y)\}\quad (3)}

, hvor u og o er som ovenfor og

\displaylines{t,b:\{(x,y)\vert  a\le x\le b,u(x)\le y\le o(x)\}\to \mathbb{R} }

er kontinuerte og opfylder b(x,y)\le t(x,y). Notationen t og b refererer til top og bund.

9.2 Elemtære domæner

Definition: Vi skal med en samlet betegnelse kalde mængder på formen (1-2) eller (3) (og de tilsvarende med rollerne af x, y og z ombytter) for elementære domæner.

9.3 Itereret integral

Sætning: Lad f:D\to \mathbb{R} være en kontinuert funktion defineret på et elementært domæne D. Da er f integrabel over D (hvis D\subseteq \mathbb{R} ^2 vil vi også sige planintegrabel og hvis D\subseteq \mathbb{R} ^3 vil vi også sige rumintegrabel). Hvis D er af formen (1) og f derfor er en funktion af to variable, har vi

\displaylines{\int _Df(x,y)dA=\int _{x=a}^{x=b}\left ( \int _{y=u(x)}^{y=o(x)}f(x,y)dy\right ) dx}

Hvis D er af formen (2) og f derfor er en funktion af to variable, har vi

\displaylines{\int _Df(x,y)dA=\int _{y=c}^{y=d}\left ( \int _{x=v(y)}^{x=h(u)}f(x,y)dx\right ) dy}

Hvis R er af formen (3) og f derfor er en funktion af tre variable, har vi

\displaylines{\int _Rf(x,y,z)dV=\int _{x=a}^{x=b}\left ( \int _{y=u(x)}^{y=o(x)}\left ( \int _{z=b(x,y)}^{z=t(x,y)}f(x,y,z)dz\right ) dy\right ) dx}

9.4 Regneregel

\displaylines{\int _D(af+bg)=a\int _Df+b\int _Dg}

, hvor a,b\in \mathbb{R} og f,g er kontinuerte funktioner på D.

9.5 Transformationssætningen

Sætning: Lad n=1,2 eller n=3 og lad T:U\to \mathbb{R} ^n, være givet ved nC^1-funktioner T_1:U\to \mathbb{R} ,\ldots ,T_n:U\to \mathbb{R} på en åben mængde U\subseteq \mathbb{R} ^n. Hvis D\subseteq U er et elementært domæne (et interval for n=1), T er injektiv (hvilket betyder T(x)=T(y), hvis x=y) på det indre af D og f:T(D)\to \mathbb{R} er en kontinuert funktion gælder der,

\displaylines{\int _{T(D)}f=\int _D(f\circ T)J(T)}

Her er J(T(\bar x)) længden for n=1, arealet for n=2 og rumfanget for n=3 af den figur, der udspændes af gradientvektorerne \nabla T_1(\bar x),\ldots ,\nabla T_n(\bar x). I tilfældet n=1 er det simpelthen \vert T'(x)\vert .

9.6 Polære koordinater i planen

Definition: Polære koordinater i planen er givet ved funktionen

\displaylines{T(r,\theta )=(x(r,\theta ),y(r,\theta ))=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}

Den er injektiv på mængden af (r,\theta ) der opfylder

\displaylines{0<r,\quad 0<\theta \le 2\pi }

Vi finder

\displaylines{J(T)(r,\theta )=\left | \det \left ( \matrix{\cos \theta &-r\sin \theta \cr \sin \theta &r\cos \theta \cr }\right ) \right | =r\cr }

9.7 Sfæriske (Kugle) koordinater i rummet

Definition: Sfæriske koordinater i rummet er givet ved funktionen

\displaylines{T(\rho ,\theta ,\phi )=(x(\rho ,\theta ,\phi ),y(\rho ,\theta ,\phi ),z(\rho ,\theta ,\phi ))}

, hvor

\displaylines{x(\rho ,\theta ,\phi )=\rho \sin \phi \cos \theta ,\quad y(\rho ,\theta ,\phi )=\rho \sin \phi \sin \theta ,\quad z(\rho ,\theta ,\phi )=\rho \cos \phi }

Funktionen er injektiv på mængden af (\rho ,\theta ,\phi ) der opfylder

\displaylines{0<\rho ,\quad 0<\theta \le 2\pi ,\quad 0<\phi <\pi }

Vi finder

\displaylines{J(T)(\rho ,\theta ,\phi )=\left | \det \left ( \matrix{\sin \phi \cos \theta &-\rho \sin \phi \sin \theta &\rho \cos \phi \cos \theta \cr \sin \phi \sin \theta &\rho \sin \phi \cos \theta &\rho \cos \phi \sin \theta \cr \cos \phi &0&-\rho \sin \phi \cr }\right ) \right | =\rho ^2\sin \phi \cr }