Fysik 7

Statistisk Fysik
John Niclasen

Indhold

1. Sandsynlighedsteori
1.1 Symboler
1.2 Boolsk Algebra
1.3 Betingede Udsagn
1.4 Regneregler
1.5 Bayes' formel
2. Fordelinger
2.1 Symboler
2.2 Binomial Fordelingen
2.3 Multinomial Fordelingen
2.4 Gauss Fordelingen
2.5 Poisson Fordelingen
2.6 Student's Fordelingen
3. Usikkerheder
3.1 Eksperimentelle usikkerheder
4. MaxEnt
4.1 Symboler
5. Termodynamik
5.1 Symboler
5.2 Det kanoniske ensemble
5.3 Tryk-ensemble
5.4 Store kanoniske ensemble
6. Kvantemekanik
6.1 Symboler
6.2 Entropi
6.3 MaxEnt
6.4 Kanonisk ensemble
6.5 Henvisning til noter
7. Fermioner
7.1 Symboler
7.2 Ikke-vekselvirkende partikler
7.3 Fermi-statistik
8. Bosoner
8.1 Symboler
8.2 Bose-statistik

1. Sandsynlighedsteori

1.1 Symboler

Symbol

Betydning

A, B, ...

Udsagn

D

Data

I

Øvrig imformation

P

Sandsynlighedsfunktion

T

Teori






1.2 Boolsk Algebra

 NOT A\overline A
 A AND BAB
 A OR BA+B

Simple "regneregler" for udsagn:

\displaylines{\overline {AB}=\overline A+\overline B\cr \overline {A+B}=\overline A,\overline B=\overline A \overline B\cr }

Til udsagnet A skriver vi tallet P(A) og benævner tallet sandsynlingheden for A.

\displaylines{P(\overline {AB})=P(\overline A+\overline B)}

1.3 Betingede Udsagn

"Betingede udsagn" skrives "A givet I"

\displaylines{A\,\vert\, I}

1.4 Regneregler

1.4.1 Sumregel

\displaylines{P(A\,\vert\, I)+P(\overline A\,\vert\, I)=1}

1.4.2 Produktregel

\displaylines{P(AB\,\vert\, I)=P(A\,\vert\, I)P(B\,\vert\, AI)}

Hvis kendskab til B ikke påvirker sandsynligheden for A, dvs. hvis P(A\,\vert\, BI)=P(A\,\vert\, I), så siger vi, at de to udsagn er uafhængige. I dette tilfælde giver produktreglen

\displaylines{P(AB\,\vert\, I)=P(A\,\vert\, I)P(B\,\vert\, I)}

1.4.3 Generel Sumregel

(Tænk på mængder!)

\displaylines{P(A+B\,\vert\, I)=P(A\,\vert\, I)+P(B\,\vert\, I)-P(AB\,\vert\, I)}

Hvis de 2 hændelser udelukker hinanden (insufficient reason), dvs.:

\displaylines{P(AB\,\vert\, I)=0\cr \Rightarrow \quad P(A+B\,\vert\, I)=P(A\,\vert\, I)+P(B\,\vert\, I)\cr }

1.5 Bayes' formel

\displaylines{P(T\,\vert\, DI)={P(D\,\vert\, TI)\over P(D\,\vert\, I)}P(T\,\vert\, I)}

Lad os betragte en situation, hvor vi har et antal konkurrende teorier, T_i, som indbyrdes udelukker hinanden, dvs. T_iT_j er falsk for i\not =j, og som tilsammen må være sande. Så gælder

\displaylines{P(D\,\vert\, I)=\sum _iP(D\,\vert\, T_iI)P(T_i\,\vert\, I)\cr P(T_i\,\vert\, DI)={P(D\,\vert\, T_iI)P(T_i\,\vert\, I)\over \sum _jP(D\,\vert\, T_jI)P(T_j\,\vert\, I)}\cr }

Eller blot:

\displaylines{P(T_i\,\vert\, DI)={P(D\,\vert\, T_iI)\over P(D\,\vert\, I)}P(T_i\,\vert\, I)\cr \sum _iP(T_i\,\vert\, DI)=1\cr }

1.5.1 Eksempel på brug af Bayes' formel

Vi forestiller os en befolkning, hvor der er en sandsynlighed for, at hvert enkelt individ har en given sygdom. På hospitalet har man et måleapparat, som kan teste, om man har denne sygdom. Målemetoden er ikke perfekt, så apparatet måler forkert i nogle tilfælde.

Hvis man nu bliver testet positiv for denne sygdom, hvad er så sandsynligheden for, at man virkelig har sygdommen? Det kan Bayes' formel give svaret på.

Lad os forestille os flg.:

  • Sandsynligheden for, at man har sygdommen, er 1\% . Dvs. 1\% af befolkningen har virkelig denne sygdom. Det angives f.eks.: P(S\,\vert\, I)=1\% =0.01
  • Dvs. sandsynligheden for, at man ikke har sygdommen, er 99\% : P(\bar S\,\vert\, I)=99\% =0.99
  • Det gives, at måleapparatet har en pålidelighed på 95\% . Dvs. når det måler på en person, der har sygdommen, så giver apparatet det rigtige resultat i 95\%  af tilfældene: P(D_S\,\vert\, SI)=95\% =0.95
  • Ligeledes giver måleapparatet det rigtige resultat i 95\% af tilfældene, når man ikke har sygdommen: P(D_{\bar S}\,\vert\, \bar SI)=95\% =0.95

Man vil gerne finde sandsynligheden for, at man er syg, hvis man bliver måle til at være syg, dvs.: P(S\,\vert\, D_SI)

S er altså teorien eller udsagnet: "personen er syg". D_S betyder: "data siger, at personen er syg".

\displaylines{P(S\,\vert\, D_SI)={P(D_S\,\vert\, SI)\over P(D_S\,\vert\, I)}P(S\,\vert\, I)\cr }

Altså: sandsynligheden for, at personen er syg under forudsætning af, at man får data, der siger, personen er syg, er lig med sandsynligheden for, at man får data, der siger, at personen er syg under forudsætning at personen er syg, divideret med sandsynligheden for at få data, der siger, at personen er syg, gange med sandsynligheden generelt for at være syg.

Vi kender P(D_S\,\vert\, SI), der er 95\% .

Vi kender også P(S\,\vert\, I), der er 1\% .

Vi skal altså finde P(D_S\,\vert\, I), før vi kan regne det ud. Der er 2 situationer, hvor man kan få resultatet D_S, dvs. data der siger, personen er syg. Enten får man de data og personen samtidig virkelig er syg, eller også får man de data og personen samtidig ikke er syg. Dvs.:

\displaylines{P(D_S\,\vert\, I)=P(D_SS\,\vert\, I)+P(D_S\bar S\,\vert\, I)}

Man kan nu bruge produktreglen for hver af de 2 led:

\displaylines{=\quad P(D_S\,\vert\, SI)P(S\,\vert\, I)+P(D_S\,\vert\, \bar SI)P(\bar S\,\vert\, I)}

Eller sagt med ord: sandsynligheden for, at man får data, der siger, at personen er syg, er lig med sandsynligheden for, at man får de data under forudsætning af, at personen er syg, gange sandsynligheden for at være syg, plus sandsynligheden for de data under forudsætning af, at personen ikke er syg, gange sandsynligheden for ikke at være syg.

Vi kender alle disse 4 størrelser, så vi finder sandsynligheden for at få data, der siger, at personen er syg:

\displaylines{P(D_S\,\vert\, I)=0.95\cdot 0.01+0.05\cdot 0.99=0.059=5.9\% }

, da P(D_S\,\vert\,  \bar SI)=1-P(D_S\,\vert\, SI)=1-0.95=0.05.

Man kan nu udregne den endelige sandsynlighed for, at en person er syg under forudsætning af, at man får data, der siger, at personen er syg:

\displaylines{P(S\,\vert\, D_SI)={0.95\over 0.059}\cdot 0.01\approx 0.16=16\% }

Et måske overraskende resultat, men man kan forvisse sig om, at det er sandt ved at se på en gruppe af 10000 personer. 1\% har sygdommen, dvs. 100 personer. 95\% af dem vil blive måle positive ved en test, dvs. 95 personer. Der er altså 10000-100=9900 personer, der ikke har sygdommen. 5\% af dem vil blive målt positive ved en test, dvs. 495 personer. Der er altså i alt 95+495=590 personer, der vil blive målt positive, og det er kun 95 af dem, der rent faktisk har sygdommen svarende til ca. 16\% .

2. Fordelinger

2.1 Symboler

Symbol

Betydning

A, B, ...

Udsagn

D

Data

I

Øvrig imformation

M

Antal givne udfald

N

Antal mulige udfald

P

Sandsynlighedsfunktion

p

Sandsynlighed

T

Teori

\mu

Middelværdi

\sigma ^2

Varians

2.2 Binomial Fordelingen

Hvis vi har en sekvens af N hændelser med hver to udfald, og med sandsynligheden p for det ene udfald, er sandsynligheden for udsagnet A_m = "Sekvensen giver netop M udfald af typen P" givet ved binomial fordelingen

\displaylines{P(A_m\,\vert\, I)={N\atopwithdelims () M}p^M(1-p)^{N-M}}

, hvor {N\atopwithdelims () M} er binomialkofficienten

\displaylines{{N\atopwithdelims () M}={N!\over M!(N-M)!}}

2.2.1 Middelværdi

\displaylines{\langle M\rangle =\sum _MMP(A_M\,\vert\, I)}

2.2.2 Varians

Variansen er defineret som middelværdien af kvadratet på afvigelsen fra middelværdien

\displaylines{\sigma ^2=\sum _M(M-\langle M\rangle )^2P(A_M\,\vert\, I)}
\displaylines{\sigma ^2=\langle M^2\rangle -\langle M\rangle ^2}

hvor

\displaylines{\langle M^2\rangle =\sum _MM^2P(A_M\,\vert\, I)}

2.2.3 Tilstandssum

Tilstandssummen er givet ved

\displaylines{Z(\lambda )=\langle e^{\lambda M}\rangle =\sum _M^Ne^{\lambda M}P(A_M\,\vert\, I)}

Det gælder

\displaylines{Z(0)=\sum _M^NP(A_M\,\vert\, I)=1\cr Z'(0)=\sum _M^NMP(A_M\,\vert\, I)=\langle M\rangle \cr Z''(0)=\sum _M^NM^2P(A_M\,\vert\, I)=\langle M^2\rangle \cr Z^{(n)}(0)=\sum _M^NM^nP(A_M\,\vert\, I)=\langle M^n\rangle \cr }

2.2.4 Stirlings Approximation

For store værdier af N

\displaylines{N!\simeq \sqrt {2\pi N}\left ({N\over e}\right )^N\cr \Rightarrow \quad {N!\over M!(N-M)!}k^M(1-k)^{N-M}\simeq g(x)e^{-Nf(x)}\cr }

, hvor x=M/N og

\displaylines{g(x)={1\over \sqrt {2\pi N}}{1\over \sqrt {x(1-x)}},\quad f(x)=x\ln {x\overwithdelims () k}+(1-x)\ln {1-x\overwithdelims () 1-k}}

For N\gg 1:

\displaylines{P(A_M\,\vert\, I)\simeq {1\over \sqrt {2\pi \sigma ^2}}\exp \left (-{(M-\mu )^2\over 2\sigma ^2}\right )}

2.3 Multinomial Fordelingen

\displaylines{P(A(n_1,\ldots ,n_k)\,\vert\, I)={N!\over n_1!{\cdots }n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}}

2.3.1 Tilstandssum

\displaylines{Z(\lambda _1,\ldots ,\lambda _k)=\sum _{n_1,\cdots ,n_k}e^{\lambda _1n_1+\cdots +\lambda _kn_k}P(A(n_1,\ldots ,n_k)\,\vert\, I)}

2.3.2 Varians

Variansen i antallet af udfald af typen i

\displaylines{\sigma _i^2=\langle n_i^2\rangle -\langle n_i\rangle ^2=Np_i(1-p_i)}

2.4 Gauss Fordelingen

Også kaldet Normalfordelingen:

\displaylines{p(x\,\vert\, \mu \sigma )={1\over \sqrt {2\pi }\sigma }\exp \left (-{(x-\mu )^2\over 2\sigma ^2}\right )}

2.4.1 Tilstandssum

\displaylines{Z(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{\lambda x}p(x\,\vert\, \mu ,\sigma )dx\cr \Leftrightarrow \quad Z(\lambda )=\exp \left ({(\mu +\lambda \sigma ^2)^2-\mu ^2\over 2\sigma ^2}\right )\cr }

Af Z(\lambda ) kan vi beregne fordelingens karakteristika:

\displaylines{Z(0)=1\cr Z'(0)=\langle x\rangle =\mu \cr Z''(0)=\langle x^2\rangle =\sigma ^2+\mu ^2\cr }

, hvoraf vi ser, at fordelingens varians er givet ved \sigma ^2.

2.5 Poisson Fordelingen

Gennemsnitlige antal henfald:

\displaylines{\langle M\rangle =Np}

(det generelle resultat for binomialfordelingen). Benævnes \mu :

\displaylines{\mu =Np}

For \mu \ll N:

\displaylines{{N\atopwithdelims () M}\approx {N^M\over M!}}
\displaylines{P(A_M\,\vert\, I)\approx {\mu ^M\over M!}e^{-\mu }}

2.5.1 Tilstandssum

\displaylines{Z(\lambda )=\exp \left (\mu (e^{\lambda }-1)\right )}

Z(\lambda ) opfylder

\displaylines{Z(0)=1,\quad Z'(0)=\mu ,\quad Z''(0)=\mu (\mu +1)}

hvoraf vi ser, at fordelingen er normeret (Z(0)=1), har middelværdien \langle M\rangle =Z'(0)=\mu , og variansen \sigma ^2=Z''(0)-Z'(0)^2=\mu .

2.6 Student's Fordelingen

Før-sandsynligheden kaldet Jeffreys prior:

\displaylines{p(\ln \sigma \,\vert\, I)d\ln \sigma =konst d \ln \sigma =konst {d\sigma \over \sigma }}

Benyttes den fåes Student's t fordelingen:

\displaylines{p(\mu \,\vert\, \lbrace x_1,\ldots ,x_N\rbrace )\propto ((\mu -\langle x\rangle )^2+\Delta x^2)^{-N/2}}

Her er indført den observerede varians

\displaylines{\Delta x^2=\langle x^2\rangle -\langle x\rangle ^2}

Efter-sandsynligheden for \sigma er givet ved

\displaylines{p(\sigma \,\vert\, \lbrace x_1,\ldots ,x_N\rbrace  I)\propto \sigma ^{-N}\exp \left (-{N\over 2\sigma ^2}(\langle x^2\rangle -\langle x\rangle ^2)\right )}

Middelværdi og varians for denne fordeling for N\gg 1 er

\displaylines{\langle \sigma \rangle =\Delta x\quad ,\quad \langle \sigma ^2\rangle -\langle \sigma \rangle ^2={\Delta x^2\over \sqrt {2N}}}

3. Usikkerheder

3.1 Eksperimentelle usikkerheder

\displaylines{\delta f=\sqrt {\left ({\partial f\over \partial x_1}\right )^2\delta x_1^2+\ldots +\left ({\partial f\over \partial x_n}\right )^2\delta x_n^2}}

4. MaxEnt

4.1 Symboler

Symbol

Betydning

F

Statistisk størrelse

\langle f\rangle

Middelværdi af statisktisk fordelt størrelse

p

Sandsynlighed

S

Entropi

x

Variabel

Z

Tilstandssum

\lambda

Lagrange-multiplikator

4.1.1 Entropi

\displaylines{S=-\sum _ip_i\ln (p_i)}

Er et udtryk for antallet af frihedsgrader eller mulige tilstande, et system kan være i, givet nogle rammer. Hvis man f.eks. tænker på en kasse med en gas, så er der mange flere mulige tilstande, hvor gassen er jævn fordelt i kassen end tilstande, hvor al gasser befinder sig i det ene hjørne af kassen. Derfor vil entropien være meget større i situationen med jævn fordeling af gas end i situationen, hvor gassen er begrænset til det ene hjørne.

Entropi kan også udtrykkes:

\displaylines{S=\ln (Z)+\sum _i\lambda _kF_k}

4.1.2 Tilstandssum

\displaylines{Z=\sum _i\exp \left [-\sum _k\lambda _kf_k(x_i)\right ]}

Er et matematisk udtryk, der indeholder information om statistisk fordelte størrelser, f_k, og tilhørende Lagrange-multiplikatorer, \lambda _k, for et system.

4.1.3 MaxEnt

Entropien er maksimeret (har toppunkt) for flg. sandsynlighed:

\displaylines{p_i={1\over Z}\exp \left [-\sum _k\lambda _kf_k(x_i)\right ]}

4.1.4 Viden

Statistiske størrelser er defineret som middelværdier:

\displaylines{\langle f_k\rangle =\sum _if_k(x_i)p_i=F_k\quad ,\quad k=1,\ldots ,m}

4.1.5 Partielt Afledte

Den partielt afledte af logaritmen til tilstandssummen mht. en Lagrange-multiplikator giver minus den tilhørende statisktiske størrelse (viden):

\displaylines{{\partial \ln (Z)\over \partial \lambda _k}=-F_k\cr }

Tilsvarende giver den partielt afledte af entropien mht. en statisk størrelse den tilhørende Lagrange-multiplikator:

\displaylines{{\partial S\over \partial F_k}=\lambda _k\cr }

5. Termodynamik

5.1 Symboler

Symbol

Betydning

C

Varmefylde

E

Energi

H

Entalpi

N

Antal atomer/molekyler

p

Tryk

Q

Varme

S

Entropi

T

Temperatur i Joule

U

Energi

V

Volumen

W

Arbejde

Z

Tilstandssum

\beta

T^{-1} (Temperatur)

\mu

Kemisk potentiale

\Omega

Termodynamisk potentiale



5.2 Det kanoniske ensemble

5.2.1 Kendetegn

Volumen, V, og antal partikler, N, er konstante.

Statistisk størrelse

Lagrange-multiplikator

Energi \langle E\rangle =U

Temperatur \beta ={1\over T}

5.2.2 Entropi

Flg. udtryk for entropi skal maksimeres (toppunkt skal findes):

\displaylines{S=-\sum _ip_i \ln  p_i}

under bibetingelserne:

\displaylines{\sum _ip_i=1\quad \quad \sum _iE_i p_i=U}

Sandsynlighedsfordelingen bliver:

\displaylines{p_i={1\over Z}\exp \lbrack -\beta  E_i\rbrack }

, hvor tilstandssummen, Z er givet ved:

\displaylines{Z=\sum _i\exp \lbrack -\beta  E_i\rbrack }

Summen er over de mange små celler i faserummet.

5.2.3 Den ideelle gas

\displaylines{E(\bar r,\bar p)=\sum _{n=1}^N{p_n^2\over 2m}\cr Z=V^N\left ({2\pi  m\over h^2 \beta }\right )^{3N/2}\cr U=-{\partial \ln Z\over \partial \beta }={3N\over 2} {1\over \beta }\cr \Leftrightarrow \quad \beta ={3N\over 2} {1\over U}\cr \Leftrightarrow \quad T={2\over 3N}U\cr }

, da \beta =T^{-1}.

\displaylines{S=\ln Z+\beta  U=N \ln \left [\left ({2\pi  m\over h^2 \beta }\right )^{3/2}V\right ]+{3N\over 2}\cr }

5.2.4 Varmefylde og varme

\displaylines{\delta U=C\delta T\cr \Leftrightarrow \quad \delta U=-{C\over \beta ^2}\delta \beta \cr }

, da

\displaylines{\delta T=-{1\over \beta ^2}\delta \beta }

Fra den generelle teori:

\displaylines{U=-{\partial \ln Z\over \partial \beta }\cr \Rightarrow \quad C=\beta ^2{\partial ^2\ln Z\over \partial \beta ^2}={\partial U\over \partial T}={\partial \over \partial T}\left ({3N\over 2}T\right )\cr \Leftrightarrow \quad C={3N\over 2}\cr }

Ændring i entropi:

\displaylines{\Delta S={1\over T} {\partial U\over \partial T}\Delta T\cr \Rightarrow \quad T\Delta S=C\Delta T\cr }

Varme:

\displaylines{\Delta Q=T\Delta S=C\Delta T\cr \Leftrightarrow \quad C={\Delta Q\over \Delta T}\cr }

5.2.5 Arbejde og tryk - 1. Hovedsætning

\displaylines{\delta U=\delta Q-\delta W=T\delta S-\delta W\cr \delta W=p\delta V\cr }

Hvis middelenergien ikke ændres:

\displaylines{\delta Q=T\delta S=\delta W}

Energien kan ændres på 2 måder: der kan tilføres varme, eller der kan udføres arbejde. Tilføres systemet varme, er det ækvivalent med en ændring i sandsynlighedsfordelingerne, p_i for de enkelte celler i faserummet. Dette fremgår af:

\displaylines{\delta Q=\sum _iE_i\delta p_i\cr }

Arbejdet involverer ikke nogen ændring af sandsynlighederne, men repræsenterer en ændring af energien, E_i, af faserumscellen.

5.2.6 Helmholtz' frie energi

\displaylines{F(T,\alpha )=-{1\over \beta }\ln Z\cr =\quad U-TS\cr \Rightarrow \quad \Delta F=-S\Delta T-\Delta W\cr }

5.2.7 Tilstandsligning

\displaylines{p=-{\partial F\over \partial V}\cr \Leftrightarrow \quad p={NT\over V}\cr \Leftrightarrow \quad pV=NT\cr }

5.3 Tryk-ensemble

5.3.1 Kendetegn

Antal partikler, N, er konstant.

Statistisk størrelse

Lagrange-multiplikator

Energi \langle E\rangle =U

Temperatur \beta ={1\over T}

Volumen V

Tryk p

5.3.2 Entropien

Entropien skal maksimeres af en sandsynlighedstæthed på formen

\displaylines{p_i(V)dV={1\over Z}\exp \lbrack -\beta E_i(V)-\alpha V\rbrack {dV\over v_0}}

Lagrange-multiplikatoren \alpha :

\displaylines{\alpha =\beta \left \langle-{\partial E(V)\over \partial V}\right \rangle\cr \Leftrightarrow \quad \alpha ={p\over T}=p\beta \cr }

Tilstandssummen:

\displaylines{Z(T,p)=\sum _i\int _0^{\infty }{dV\over v_0}\exp \lbrack -\beta (E_i(V)+pV)\rbrack }

Entropien:

\displaylines{S=\ln Z+\beta (U+pV)=\ln Z+\beta U+\alpha V}

5.3.3 1. Hovedsætning

\displaylines{\Delta U=T\Delta S+p\Delta V}

5.3.4 Varmefylde og entalpi

\displaylines{C_p={\partial H\over \partial T}}

Entalpi:

\displaylines{H=U+pV}

Volumen:

\displaylines{V={N\over \beta p}\cr \Leftrightarrow \quad pV=NT\cr }

Energi:

\displaylines{U={3N\over 2\beta }+Nu_i(\beta )}

, hvor u_i(\beta ) er middelværdien af et enkelt molekyles indre energi:

\displaylines{u_i(\beta )=-{\partial \ln Z_i\over \partial \beta }}

Varmefylde:

\displaylines{C_p={3N\over 2}+N{\partial u_i\over \partial T}+N\cr C_V={3N\over 2}+N{\partial u_i\over \partial T}\cr }

Varmefylde betinget af translatoriske, rotationelle og vibrationelle frihedsgrader:

\displaylines{C={1\over 2}N_{tr}+{1\over 2}N_{rot}+N_{vib}}

Eksempel fra forelæsning (H_2O!?):

\displaylines{C=3\cdot {1\over 2}+3\cdot {1\over 2}+(3n-6)\cdot 1}

C{=} translation + rotation + vibration (af frihedsgrader)

5.3.5 Gibbs frie energi

\displaylines{G(T,p)=-{1\over \beta }\ln Z=-T\ln Z\cr =\quad U+pV-TS\cr \Rightarrow \quad \Delta G=-S\Delta T+V\Delta p-\Delta W\cr }

5.4 Store kanoniske ensemble

5.4.1 Kendetegn

Volumen, V, er konstant.

Statistisk størrelse

Lagrange-multiplikator

Energi \langle E\rangle =U

Temperatur \beta ={1\over T}

Antal partikler N

Kemisk potentiale \mu

5.4.2 Entropien

Maksimum entropi giver flg. sandsynlighedsfordeling:

\displaylines{p_i={1\over Z}\exp \lbrack -\beta E_i-\lambda N_i\rbrack }

Tilstandssummen:

\displaylines{Z=\sum _i\exp \lbrack -\beta E_i-\lambda N_i\rbrack }

\lambda findes ud fra:

\displaylines{{\partial \ln Z\over \partial \lambda }=-N_0}

, hvor N_0 er den kendte middelværdi af partikeltallet. Entropien bliver:

\displaylines{S=\ln Z+\beta U+\lambda N_0\cr \Rightarrow \quad {\partial S\over \partial N_0}=\lambda \cr }

Lagrange-multiplikatoren \lambda  er relateret til det kemiske potentiale, \mu , via formlen:

\displaylines{\lambda =-\beta \mu }

, hvilket giver:

\displaylines{{1\over \beta } {\partial \ln Z\over \partial \mu }=N_0\cr -T{\partial S\over \partial N_0}=\mu \cr }

5.4.3 Det termodynamiske potentiale

\displaylines{\Omega =-{1\over \beta }\ln Z\cr \Rightarrow \quad \Omega =U-TS-\mu N\cr \mu ={\partial F\over \partial N}\cr p=-{\partial F\over \partial V}\cr }

, hvor F er en slags Helmholtz' frie energi:

\displaylines{F(T,V,N)=-{1\over \beta }\ln \left ({Z\over N!}\right )}

Termodynamiske potentiale:

\displaylines{\Omega =-pV}

6. Kvantemekanik

6.1 Symboler

Symbol

Betydning

E

Egenenergi

F

Middelværdi

H

Hamiltonoperator

p

Egenværdi

S

Entropi

Z

Tilstandssum

\beta

Temperatur

\lambda

Lagrange-multiplikator

\phi

Egentilstand

\rho

Informationsniveau

6.2 Entropi

\displaylines{\rho =\sum _jp_j\,\vert\, \phi _j\rangle \langle \phi _j\,\vert\, \cr 0\le p_j\le 1\quad \sum _jp_j=1\cr S=-\sum _jp_j\ln p_j\cr S=-Tr\lbrack \rho \ln \rho \rbrack \cr S=\ln Z+\sum _k\lambda _kF_k\cr }

6.3 MaxEnt

6.3.1 Middelværdi

\displaylines{\langle f_k\rangle =Tr\lbrack \rho \hat f_k\rbrack =F_k}

6.3.2 Sandsynlighed

Løsningen er operatoren:

\displaylines{\rho ={1\over Z}\exp \left [-\sum _k\lambda _kf_k\right ]}

6.3.3 Tilstandssum

\displaylines{Z=Tr\left [e^{-\sum _k\lambda _kf_k}\right ]}

6.3.4 Partielt afledte

\displaylines{{\partial \ln Z\over \partial \lambda _k}=-F_k\cr {\partial S\over \partial F_k}=\lambda _k\cr }

6.4 Kanonisk ensemble

Energien er i kvantemekanikken repræsenteret ved Hamiltonoperatoren, H. MaxEnt tæthedsmatricen er:

\displaylines{\rho ={1\over Z}\exp \lbrack -\beta H\rbrack }

Hvis egenenergierne er E_i, så er sandsynlighederne:

\displaylines{p_i={1\over Z}\exp \lbrack -\beta E_i\rbrack }

Tilstandssummen:

\displaylines{Z=\sum _i\exp \lbrack -\beta E_i\rbrack }

6.5 Henvisning til noter

Se:

 7.2.5Frie partikler
 7.2.6Harmonisk oscillator
 7.2.7Roterende molekyle

7. Fermioner

7.1 Symboler

Symbol

Betydning

C

Varmefylde

E

Energi

g

Udartning

H

Hamiltonoperator

N

Antal partikler

R

Radius

U

Energi

V

Potentiale

V

Volumen

W

Arbejde

Z

Tilstandssum

\beta

Temperatur

\mu

Kemisk potentiale

\rho

Ladningsfordeling

7.2 Ikke-vekselvirkende partikler

\displaylines{H=\sum _{i=1}^NH_1(r_i,p_i)}

For elektroner:

\displaylines{H_1={p^2\over 2m}+V(r)\cr V(r)=V_0(r)+{e\over 4\pi \epsilon _0}\int {\rho (r')\over \,\vert\, r-r'\,\vert\, }d^3r'\cr }

7.3 Fermi-statistik

Samlede antal partikler i en given mangepartikel-tilstand:

\displaylines{N=\sum _in_i,\quad n_i\in \lbrace 0;1\rbrace }

, hvor n_i er antallet af partikler i en bestemt én-partikeltilstand, \phi _i. Energien i samme mangepartikel-tilstand:

\displaylines{E=\sum _i\epsilon _in_i}

7.3.1 Tilstandssummen

\displaylines{Z=\sum \exp \lbrack -\beta (E-\mu N)\rbrack \cr Z=\prod _i\left (1+\exp \lbrack -\beta (\epsilon _i-\mu )\rbrack \right )\cr }

7.3.2 Energi

\displaylines{U-\mu \langle N\rangle =-{\partial \ln Z\over \partial \beta }=\sum _i(\epsilon _i-\mu ){1\over \exp \lbrack \beta (\epsilon _i-\mu )\rbrack +1}\cr U-\mu \langle N\rangle =\langle E-\mu N\rangle =\sum _i(\epsilon _i-\mu )\langle n_i\rangle \cr \Rightarrow \quad \langle n_i\rangle ={1\over \exp \lbrack \beta (\epsilon _i-\mu )\rbrack +1}\cr }

7.3.3 Fermi-fordelingsfunktionen

\displaylines{n_F(\epsilon )={1\over \exp \lbrack \beta (\epsilon _i-\mu )\rbrack +1}}

Angiver antallet af fermioner i en én-partikeltilstand med energi \epsilon , i et system med kemisk potentiale \mu .

7.3.4 Atomer, molekyler, halvleder, isolatorer

 HOMOHighest occupied molecular orbital
 LUMOLowest unoccupied molecular orbital

Det kemiske potentiale for T\ll \epsilon _L-\epsilon _H:

\displaylines{\mu (T)={\epsilon _L+\epsilon _H\over 2}+T\ln \sqrt {{g_H\over g_L}}}

Varmefylde:

\displaylines{C_{\mu }=(g_L\epsilon _L-g_H\epsilon _H){\Delta \over 2T^2}\exp \left [-{\Delta \over 2T}\right ],\quad T\ll \Delta }

7.3.5 Metaller, tunge kerner

Fermitryk:

\displaylines{p_{kl}=nT\cr {p\over p_{kl}}={2\over 5} {\epsilon _F\over T}\cr }

7.3.6 Hvide dværge og neutronstjerner

\displaylines{W(R)=-\int _{\infty }^Rp(r)4\pi r^2dr\cr E_G=-\alpha G{M^2\over R},\quad \alpha \approx 1\cr p(R)=\alpha {G\over 4\pi } {M^2\over R^4}\cr V={4\pi \over 3}R^3\cr }

Fermi-impulsen:

\displaylines{p_F=\left ({9\pi \over 8} {M\over m_p}\right )^{1/3}{\hbar \over R}}

Chandrasekhar-massen:

\displaylines{M_c=\left ({0.25\over 0.29\alpha }\right )^{3/2}M_{\odot }={0.8\over \alpha ^{3/2}}M_{\odot }\cr M_c=1.4M_{\odot }\cr }

8. Bosoner

8.1 Symboler

Symbol

Betydning

E

Energi

l

Længde

m

Masse

N

Antal partikler

T

Temperatur

V

Volumen

Z

Tilstandssum

\beta

Temperatur ^ -1

\epsilon

Energi

\mu

Kemisk potentiale

\rho

Tilstandstæthed

8.2 Bose-statistik

\displaylines{N=\sum _in_i\cr E=\sum _i\epsilon _in_i\cr }

8.2.1 Tilstandssum

\displaylines{Z=\prod _iZ_i\cr Z_i=\sum _{n_i}\exp \lbrack -\beta (\epsilon _i-\mu )n_i\rbrack \cr }

For en enkelt harmonisk oscillator:

\displaylines{Z_{ho}=\exp \lbrack -\beta \hbar \omega /2\rbrack \sum _n\exp \lbrack -\beta \hbar \omega n\rbrack \cr \hbar \omega =\epsilon _i-\mu \cr }

For Bose-gassen:

\displaylines{Z_i={1\over 1-\exp \lbrack -\beta (\epsilon _i-\mu )\rbrack }}

Det gennemsnitlige antal bosoner i tilstanden i:

\displaylines{\langle n_i\rangle ={1\over \beta } {\partial \ln Z_i\over \partial \mu }={1\over \exp \lbrack \beta (\epsilon _i-\mu )\rbrack -1}}

Det kemiske potentiale kan beregnes ved at forlange:

\displaylines{\langle N\rangle =\sum _in_B(\epsilon _i)=\int \rho (\epsilon )n_B(\epsilon )d\epsilon }

Tilstandstæthed:

\displaylines{\rho (\epsilon )={3\over 2} {V\over 6\pi ^2}\left ({2m\over \hbar ^2}\right )^{3/2}\sqrt {\epsilon }}

Afstand mellem partikler:

\displaylines{l=\left ({V\over \langle N\rangle }\right )^{1/3}}

Typisk kvante energi for en partikel med massen m:

\displaylines{\epsilon _l={\hbar ^2\over 2ml^2}}

Karakteristisk temperatur for Bose-gassen:

\displaylines{T_B=\epsilon _l(2\pi )^{4/3}}

Formlen for gennemsnitligt antal partikler giver:

\displaylines{1=\left ({T\over T_B}\right )^{3/2}g_{1/2}(\exp \lbrack -\beta \mu \rbrack )}

8.2.2 Kemisk potentiale

\displaylines{\mu =-T\left [{3\over 2}\ln \left ({T\over T_B}\right )-\ln \left ({2\over \sqrt {\pi }}\right )\right ]}

(Udartning?):

\displaylines{g_{1/2}(1)=\int _0^{\infty }{\sqrt {x}\over e^x-1}dx,\quad x=\beta \epsilon }

Måske:

\displaylines{x=\beta \mu }

8.2.3 Bose-kondensation

Kritisk temperatur:

\displaylines{T_c=g_{1/2}(1)^{-2/3}T_B\cr 1=x_0+\left ({T\over T_c}\right )^{3/2}\cr \mu =0\cr x_0(T)=1-\left ({T\over T_c}\right )^{3/2}\cr }

Det makroskopiske antal partikler i en enkelt kvantetilstand kaldes et Bosekondensat.

8.2.4 Varmefylde

\displaylines{p={2\over 3}nT\left ({T\over T_c}\right )^{3/2}{g_{3/2}(z)\over g_{1/2}(1)}\cr C=\langle N\rangle \left [{5\over 2} {g_{3/2}(z)\over g_{1/2}(z)}-{9\over 2} {g_{1/2}(z)\over g_{-1/2}(z)}\right ],\quad T>T_c\cr C=\langle N\rangle {5\over 2}\left ({T\over T_c}\right )^{3/2}{g_{3/2}(1)\over g_{1/2}(1)},\quad T<T_c\cr }

8.2.5 Foton-gassen

\displaylines{\epsilon =pc=\hbar ck}

, hvor k er bølgetallet.

Antallet af tilstande inden i en kugle i impulsrummet med radius \epsilon /(\hbar c):
(2 tilstande relateret til fotonens polarisation)

\displaylines{R(\epsilon )=2{1\over 8} {{4\pi \over 3}\left ({\epsilon \over \hbar c}\right )^3\over \left ({\pi \over L}\right )^3}=V{\pi \over 3} {\epsilon ^3\over (hc)^3}}

Tilstandstætheden:

\displaylines{\rho (\epsilon )=V\pi {\epsilon ^2\over (hc)^3}}

Det termodynamiske potentiale, -pV, for fotongassen:

\displaylines{pV=-\Omega ={1\over \beta }\ln Z\cr =\quad V{\pi \over 3} {1\over (hc)^3} {\pi ^4\over 15}T^4\cr }

, da

\displaylines{\int _0^{\infty }{x^3\over e^x-1}dx={\pi ^4\over 15}}

Antal fotoner pr. volumen:

\displaylines{n={\langle N\rangle \over V}\cr =\quad {2\pi \over (hc)^3}\zeta _3T^3\cr }

, hvor \zeta _3=1.2021 kommer af integralet:

\displaylines{\int _0^{\infty }{x^2\over e^x-1}dx=2\zeta _3}

Sammenhængen mellem tryk og tæthed:

\displaylines{p={\pi ^3\over 90\zeta _3}nT=0.287nT}

Energitætheden kaldet Stefans lov:

\displaylines{u={U\over V}=-{1\over V} {\partial \ln Z\over \partial \beta }=-{\partial \beta p\over \partial \beta }=\sigma \beta ^{-4}=\sigma T^4}

, hvor \sigma er Stefans konstant.

8.2.6 1-dimensional kæde af fjedre

\displaylines{H=\sum _{n=1}^N\left [{p_n^2\over 2m}+{1\over 2}K(x_n-x_{n-1}-a)^2\right ]\cr P_k={1\over \sqrt {N}}\sum _{n=1}^Ne^{ikn}p_n\cr Q_k={1\over \sqrt {N}}\sum _{n=1}^Ne^{-ikn}u_n\cr }

, hvor bølgetallet k={2\pi \over N}l, hvor l=-N/2,-N/2+1,\ldots ,N/2.

\displaylines{p_n={1\over \sqrt {N}}\sum _ke^{-ikn}P_k\cr u_n={1\over \sqrt {N}}\sum _ke^{ikn}Q_k\cr \Rightarrow \quad H=\sum _k\left [{P_kP_{-k}\over 2m}+{1\over 2}m\omega _kQ_kQ_{-k}\right ]\cr }

, hvor frekvenserne er:

\displaylines{\omega _k^2={2K\over m}(1-\cos (k))={4K\over m}\sin ^2(k/2)}

Hæve og sænke operatorer:

\displaylines{a_k=\sqrt {{m\omega _k\over 2\hbar }}\left (Q_k+{i\over m\omega _k}P_{-k}\right )\cr a_k^{\dagger }=\sqrt {{m\omega _k\over 2\hbar }}\left (Q_{-k}-{i\over m\omega _k}P_k\right )\cr \Rightarrow \quad H=\sum _k\hbar \omega _k\left (a_k^{\dagger }a_k+{1\over 2}\right )\cr }

NicomDoc - 17-Apr-2007 - niclasen@fys.ku.dk