Fysik 6

Elektrodynamik
John Niclasen

Indhold

1. Fourier Transformation

Symboler

Symbol	Forklaring
c	Koefficient
n	Heltal
T	Periode
t	Tid
\varepsilon	Elektromotorisk kraft (emf)
\omega	Vinkelfrekvens (Vinkelhastighed)

1.1 Fourier Serier

\displaylines{f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\widetilde c_n e^{-i\omega _nt}\cr \widetilde c_n={1\over T}\int _0^Tdt f(t) e^{i\omega _nt}\cr \omega _n={n 2\pi \over T}\cr }

1.1.1 Eksempel: Rektangular pulse

\displaylines{\varepsilon (t)=\cases{\varepsilon _0&,\quad 0+nT\le t\le T/2+nT\quad ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \ldots \cr -\varepsilon _0&,\quad T/2+nT\le t\le T+nT\quad ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \ldots \cr }\cr \widetilde c_n={1\over T}\int _0^Tdt \varepsilon (t) e^{i\omega _nt}\cr =\quad {\varepsilon _0\over T}\left (\int _0^{T/2}dt e^{i\omega _nt}-\int _{T/2}^Tdt e^{i\omega _nt}\right )\cr =\quad {\varepsilon _0\over T}\left ({1\over i\omega _n} \left [e^{i\omega _nt}\right ]_0^{T/2}-{1\over i\omega _n} \left [e^{i\omega _nt}\right ]_{T/2}^T\right )\cr =\quad {\varepsilon _0\over i 2\pi n}\left (2e^{in\pi }-2\right )\cr =\quad \cases{0&n lige\cr {i2\varepsilon _0\over \pi n}&n ulige\cr }\cr }

Check for division med nul! Så \widetilde c_0 må beregnes separart:

\displaylines{\widetilde c_0={1\over T}\int _0^Tdt \varepsilon (t) e^{i\omega _0t}\cr \omega _0={0\cdot 2\pi \over T}=0\cr \Rightarrow \quad \widetilde c_0={1\over T}\int _0^Tdt \varepsilon (t)\cr =\quad {\varepsilon _0\over T}\left (\int _0^{T/2}dt-\int _{T/2}^Tdt\right )\cr =\quad {\varepsilon _0\over T}\left ({T\over 2}-T+{T\over 2}\right )\cr =\quad 0\cr }

Så

\displaylines{\varepsilon (t)=\sum _{n=-\infty ,n ulige}^{\infty }{2\varepsilon _0\over \pi n} e^{-in\omega t}\cr =\quad \sum _{n=1, n ulige}^{\infty }{i2\varepsilon _0\over \pi n} \left (e^{-in\omega t}-e^{in\omega t}\right )\cr =\quad \sum _{n=1, n ulige}^{\infty }{4\varepsilon _0\over \pi n} \sin (n\omega t)\cr }

1.2 Fourier Integraler

\displaylines{\widetilde f(\omega )={1\over \sqrt {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dt e^{i\omega t}f(t)\cr f(t)={1\over \sqrt {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega  e^{-i\omega t}\widetilde f(\omega )\cr }

1.2.1 Eksempel: Eksponential funktion

\displaylines{f(t)=e^{-\gamma \,\vert\, t\,\vert\, }\cr \widetilde f(\omega )={1\over \sqrt {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dt e^{i\omega t}e^{-\gamma \,\vert\, t\,\vert\, }\cr =\quad {1\over \sqrt {2\pi }}\left [\int _{-\infty }^0dt e^{i\omega t}e^{\gamma t}+\int _0^{\infty }dt e^{i\omega t}e^{-\gamma t}\right ]\cr =\quad {1\over \sqrt {2\pi }}\left [{1\over \gamma +i\omega }+{1\over \gamma -i\omega }\right ]\cr =\quad {1\over \sqrt {2\pi }} {2\gamma \over \gamma ^2+\omega ^2}\cr }

2. Bølger

Symboler

Symbol	Forklaring
A	Amplitude
k	Konstant
L	Længde
n	Heltal
\bar r	Retningsvektor
T	Tension (Målt i Newton)
t	Tid
v	Hastighed
z	Afstand (hen ad strengen)
\delta	Fase
\lambda	Bølgelængde
\mu	Massefylde
\omega	Vinkelfrekvens (Vinkelhastighed)

2.1 Stående Bølger

2.1.1 Grænsebetingelser

\displaylines{f(0,t)=f(L,t)=0}

2.1.2 Diskrete Frekvenser

\displaylines{\omega _n=n{v\pi \over L}}

2.1.3 Stående Bølger

\displaylines{f_n(z,t)=A \sin (k_nz) \cos (\omega _nt)\cr k_n={\omega _n\over v}\cr v=\sqrt {{T\over \mu }}\cr }

Da \sin og \cos leddene leverer værdier mellem -1 og 1, er A den egentlige amplitude. Leddet

\displaylines{\sin (k_nz)}

er uafhængig af tiden og bestemmer den maksimale amplitude ethvert sted på strengen. Leddet

\displaylines{\cos (\omega _nt)}

får den stående bølge til at svinge med tiden.

Funktion der beskriver mange stående bølger på een gang:

\displaylines{f(z,t)=\sum _{n=1}^{\infty }b_n \sin (k_nz) \cos (\omega _nt)}

2.2 Bølger i 3D

2.2.1 Wave Equation

Bølgefunktionen

\displaylines{\bar \nabla ^2f(\bar r,t)={1\over v^2} {\partial ^2f(\bar r,t)\over \partial t^2}}

2.2.2 Plane Bølger

Plane bølger er her bølger, der strækker sig til uendeligt i x- og y-retningen og bevæger sig i z-retningen. Altså ikke som bølgerne på havet.

Den komplekse funktion

\displaylines{\widetilde f(\bar r,t)=\widetilde A e^{i(\bar k\cdot \bar r-\omega t)}}

er en løsning til bølgefunktionen, hvis

\displaylines{\omega =v k}

Hvis \bar k er i z-retningen, og vi ser på den reelle løsning:

\displaylines{\widetilde A=\,\vert\, \widetilde A\,\vert\,  e^{i\delta }\cr \Rightarrow \quad \,\vert\, \widetilde f(\bar r,t)\,\vert\, =\,\vert\, \widetilde A\,\vert\,  \cos (kz-\omega t+\delta )\cr }

hvilket minder om løsningen for stående bølger på en streng.

2.2.3 Sfæriske Bølger

Den komplekse funktion

\displaylines{\widetilde f(\bar r,t)=\widetilde A {e^{i(k\cdot r-\omega t)}\over r}}

er en løsning til bølgefunktionen, hvis

\displaylines{\omega =v k}

Hvis man kigger på et lille område omkring punktet z_0 langt fra udbredelsespunktet (origo) gælder:

\displaylines{\widetilde f(\bar r,t)\approx \widetilde A {e^{i(k(z_0+z')-\omega t)}\over z_0}\cr =\quad \widetilde A' e^{i(kz'-\omega t)}\quad ,\quad \widetilde A'=\widetilde A {e^{ikz_0}\over z_0}\cr }

hvilket blot er en plan bølge.

2.3 Interferens

2.3.1 Bølgefunktionen

\displaylines{\bar \nabla ^2f={1\over v^2} {\partial ^2f\over \partial t^2}\cr \Leftrightarrow \quad {\partial ^2f\over \partial t^2}=v^2\bar \nabla ^2f\cr }

Hvis f_1 og f_2 er løsninger, så er f_1+f_2 også en løsning.

2.3.2 Rumlig Interferens

2 bølger, som bevæger sig i modsat retning:

\displaylines{\widetilde f(z,t)=\widetilde A e^{i(kz-\omega t)}+\widetilde A e^{i(-kz-\omega t)}\cr =\quad 2\widetilde A \cos (kz) e^{-i\omega t}\cr }

2.3.3 2 Højttalere

\displaylines{\widetilde f=\widetilde A\left ({e^{i(kr_+-\omega t)}\over r_+}+{e^{i(kr_--\omega t)}\over r_-}\right )}

Ved at sætte r\approx r{\pm }:

\displaylines{\widetilde f={2\widetilde A e^{i(k(r_++r_-)/2-\omega t)}\over r} \cos \left (k {r_+-r_-\over 2}\right )}

Der er konstruktiv interferens, når:

\displaylines{\cos \left (k {r_+-r_-\over 2}\right )=\pm 1\cr \Leftrightarrow \quad k(r_+-r_-)=n2\pi \cr \Leftrightarrow \quad r_+-r_-=n\lambda \cr }

Der er destruktiv interferens, når:

\displaylines{\cos \left (k {r_+-r_-\over 2}\right )=0\cr \Leftrightarrow \quad k(r_+-r_-)=n2\pi +\pi \cr \Leftrightarrow \quad r_+-r_-=(n+{1\over 2})\lambda \cr }

Langt fra origo ved z=z_0 gælder:

\displaylines{r{\pm }\approx z_0+{(x\mp L/2)^2+y^2\over 2z_0}\cr \Rightarrow \quad r_+-r_-\approx -{Lx\over z_0}\cr \Rightarrow \quad \cos \left (k {r_+-r_-\over 2}\right )\approx \cos \left ({kLx\over 2z_0}\right )\cr }

Hvilket betyder, at der er konstruktiv interferens, når:

\displaylines{x={n\lambda z_0\over L}}

Afstanden mellem striber med konstruktiv eller destruktiv interferens er:

\displaylines{\Delta x={\lambda z_0\over L}}

2.3.4 Alternativ Udledning

\displaylines{\widetilde f=\widetilde A\left ({e^{i(kr_+-\omega t)}\over r_+}+{e^{i(kr_--\omega t)}\over r_-}\right )}

Ved at sætte r_+\approx r_-:

\displaylines{\widetilde f(\bar r,t)={\widetilde A\over r}\left (e^{ikr_+}+e^{ikr_-}\right ) e^{-i\omega t}\cr \widetilde f(\bar r,t)=\,\vert\, \bar C(\bar r)\,\vert\,  e^{-i(\omega t-\delta (\bar r))}\cr \,\vert\, \bar C(\bar r)\,\vert\, ^2={\,\vert\, \widetilde A\,\vert\, ^2\over r^2} (2+2 \cos (k(r_+-r_-)))\cr }

, hvor \delta (\bar r) er fasen. For at se interferensen er man typisk kun interesseret i størrelsen af \widetilde C, da den reelle oscillation er:

\displaylines{f(\bar r,t)=\,\vert\, \widetilde C(\bar r)\,\vert\,  \cos (\omega t-\delta (\bar r))}

Der er destruktiv interferens, når \,\vert\, \widetilde C\,\vert\, =0 og konstruktiv interferens, når \,\vert\, \widetilde C\,\vert\, er max, hvorfor man ikke behøver at kende \delta .

2.3.5 Tidslig Interferens

2 1D-bølger med forskellig frekvenser:

\displaylines{\widetilde f_1(z,t)=\widetilde A e^{i(k_1z-\omega _1t)}\cr \widetilde f_2(z,t)=\widetilde A e^{i(k_2z-\omega _2t)}\cr k_i={\omega _i\over v}\cr \widetilde f(0,t)=2\widetilde A \cos \left ({\omega _1-\omega _2\over 2} t\right ) e^{-i(\omega _1+\omega _2)t/2}\cr }

Den sidste formel kan opfattes som en bølge oscillerende med frekvensen \omega =(\omega _1+\omega _2)/2, og med en amplitude oscillerende i tiden som \cos ((\omega _1-\omega _2)t/2).