Physics 1

John Niclasen

Contents

1. Symbols in Newtonian Mechanics
2. Week 1
2.1 Kepler's Three Laws
2.2 Newton's Three Laws
2.3 Gravitational 'Force'
2.4 Integration of the Equation of Motion
2.5 Circular Motion
2.6 Harmonic Oscillator
3. Week 2
3.1 Frictional Force
3.2 Force in Harmonic Motion
3.3 Charged Particle in a Uniform Magnetic Field
3.4 Work and Energy in Linear Motion of a Particle
3.5 Free Fall
3.6 Momentum Conservation
4. Week 3
4.1 Galilei Transformation
4.2 Gravitational and Inertial Mass
5. Symboler i den Specielle Relativitetsteori
6. Uge 4
6.1 Det Specielle Relativitetsprincip
6.2 Samtidighed
6.3 Lysets hastighed
6.4 Lorentz-faktor
6.5 Lorentz-transformationen
6.6 Differens-form
6.7 Differential-form
7. Uge 5
7.1 Kvadrerede former
7.2 Den relativistiske hastighedsgrænse
7.3 Længdeforkortningen
7.4 Tidsforlængelsen
7.5 Sammenhængen
7.6 Transformation af hastigheder
7.7 Dobbler-effekt
8. Uge 6
8.1 Rumtiden
8.2 Fire-vektorer
8.3 Regneregler for 4-vektorer
8.4 Fire-vektorers geometri
8.5 Egentiden
9. Week 6
9.1 Work and Kinetic Energy
9.2 Conservative Force Fields
9.3 Potential Energy and Conservation of Energy
9.4 The Gravitational Field Around a Homogeneous Sphere
10. Week 7
10.1 Center-of-Mass
10.2 Center-of-Mass Frame
10.3 König's Theorem
11. Week 8 Newtonian Mechanics
11.1 Inelastic Collision
12. Uge 8 Specielle Relativitetsteori
12.1 Fire-hastigheden
12.2 Den nye mekaniks aksiomer
12.3 Relativistisk energi
12.4 Sammenhængen mellem energi og impuls
13. Uge 9
13.1 Masseløse partikler
13.2 Doppler-effekten fra transformationen af fotonens 4-impuls
13.3 Tyngdepunktssystemet og den invariante masse
13.4 Energienheden elektronvolt
13.5 Tærskelenergien
13.6 Bindingsenergi

1. Symbols in Newtonian Mechanics

Symbol

Meaning

A

Amplitude

a

Acceleration

B

Magnetic field

E

Total mechanical energy

F

Force

G

Gravitational constant

g

Gravitational acceleration

k

Spring constant

m

Mass

p

Momentum

q

Electric charge

r

Radius

T

Period of revolution

T

Kinetic energy

t

Time

U

Potential energy

u

Speed

v

Speed

\bar v

Velocity

W

Work

x

Distance

\theta

Angle (Theta)

\Phi

Gravitational potential (Phi)

\omega

Angular velocity (Omega)

2. Week 1

2.1 Kepler's Three Laws

  1. The orbit of a planet relative to the Sun lies in a fixed plane containing the Sun, and each planet moves around the Sun in an elliptical orbit with the Sun in one focus.
  2. The radius vector from the Sun to the planet sweeps out equal areas in equal amounts of time.
  3. The square of the period of revolution of a planet is proportional to the third power of the greatest semi axis of the ellipse. If, therefore, T denotes the period of revolution and a the greater semi axis,
\displaylines{{a^3\over T^2}=C}

2.2 Newton's Three Laws

Law of Inertia

A body which is not acted upon by any force will either be at rest or in a state of uniform linear motion.

\displaylines{\bar p\equiv m\bar v\cr }

No external force \Rightarrow \quad \bar p{=} constant vector.

Law of Acceleration

The mass m of a body, times its acceleraton \bar a equals the net force \bar F on the body.

\displaylines{{d\bar p\over dt}=\bar F\cr \Leftrightarrow \quad m\bar a=\bar F\quad ;\quad \bar a\equiv {d\bar v\over dt}\equiv \dot {\bar v}\cr }

Law of Action and Reaction

If body A acts on body B with a force, then body B will act on body A with an equal but oppositely directed force.

2.3 Gravitational 'Force'

The gravitational 'force' on an object of mass m near the surface of the Earth:

\displaylines{F=mg}

Newton's law of attraction of mass:

\displaylines{F=G{mM\over r^2}\cr G=(6.6742\pm 0.0010)\times 10^{-11}{m^3\over s^2kg}\cr mg=G{mM\over r^2}\cr \Leftrightarrow \quad g=G{M\over r^2}\cr }

2.4 Integration of the Equation of Motion

\displaylines{v=\int {dv\over dt}dt=\int adt\cr \Leftrightarrow \quad v=at\cr x=\int atdt+\int v_0dt\cr \Leftrightarrow \quad x={1\over 2}at^2+v_0t+x_0\cr }

2.5 Circular Motion

\displaylines{\bar r=\bar r(t)=r\cos (\omega t)\bar i+r\sin (\omega t)\bar j}

Here, \bar i and \bar j are time independent unit vectors, \omega is the angular velocity, r=\vert \bar r\vert .

\displaylines{\bar a(t)=-{4\pi ^2\over T^2}\bar r(t)\cr v=\vert \bar v\vert =r\omega \cr a=\vert \bar a\vert =r\omega ^2={v^2\over r}\cr }

2.6 Harmonic Oscillator

2.6.1 Hooke's Law

\displaylines{F_x=-kx\cr \Leftrightarrow \quad m{d^2x\over dt^2}=-kx\cr }

2.6.2 Solution

\displaylines{x=A\cos (\omega t+\theta )\cr \omega =\sqrt {{}k\over m}\cr \omega T=2\pi \cr \Leftrightarrow \quad T={2\pi \over \omega }=2\pi \sqrt {{}m\over k}\cr }

3. Week 2

3.1 Frictional Force

\displaylines{\bar F_{fr}=-\mu N{\bar v\over \vert \bar v\vert }\cr F_{fr}=-\mu N\cr }

, where N is the normal force and \mu is the coefficient of friction.

3.2 Force in Harmonic Motion

A mass m is moving along the x-axis:

\displaylines{x=A\sin (\omega t)}

To find the acceleration \ddot x and force F_x:

\displaylines{\ddot x\equiv {d^2x\over dt^2}}
\displaylines{\ddot x=-A\omega ^2\sin (\omega t)\cr F_x=m\ddot x=-mA\omega ^2\sin (\omega t)\cr \Leftrightarrow \quad F_x=-kx\quad ;\quad k=m\omega ^2\cr }

3.3 Charged Particle in a Uniform Magnetic Field

Lorentz Force:

\displaylines{\bar F=q(\bar v\times \bar B)}

Equation of motion:

\displaylines{m{d\bar v\over dt}=q(\bar v\times \bar B)}

The particle will perform a uniform circular motion with speed v_0=\vert \bar v\vert and radius r_c.

\displaylines{m{v_0^2\over r_c}=qv_0B\quad ;\quad v_0\perp B\cr \Leftrightarrow \quad r_c={mv_0\over qB}\cr }

This radius is called the gyro radius or the cyclotron radius. The angular velocity:

\displaylines{\omega _c={v_0\over r_c}={qB\over m}}

Complete solution to the equation of motion:

\displaylines{\bar v\times \bar B=(v_yB,-v_xB,0)\cr \Rightarrow \quad \bar F=q(\bar v\times \bar B)\cr \Leftrightarrow \quad m{dv_x\over dt}=qBv_y\quad \Leftrightarrow \quad {dv_x\over dt}=\omega _cv_y\cr m{dv_y\over dt}=-qBv_x\quad \Leftrightarrow \quad {dv_y\over dt}=-\omega _cv_x\cr m{dv_z\over dt}=0\cr }

Velocity as a function of time:

\displaylines{v_x(t)=v_0\cos \lbrack \omega _c(t-t_0)\rbrack \cr v_y(t)=-v_0\sin \lbrack \omega _c(t-t_0)\rbrack \cr }

The pitch h of the helix, defined as the z-distance gained through one revolution (in the time T_c=2\pi /\omega _c):

\displaylines{h=v_zT_c=v_z{2\pi \over \omega _c}={2\pi mv_z\over qB}}

3.4 Work and Energy in Linear Motion of a Particle

The change in the kinetic energy of the particle over the segment dx equals the work done by the force F.

\displaylines{T={1\over 2}mv^2\cr d\left ( {1\over 2}mv^2\right ) =Fdx\cr d(T)=d(W)\cr }

The change in the potential enery U(x) over the segment dx is equal to minus the work done by the force F.

\displaylines{U(x)=-\int F(x)dx\cr dT=-dU(x)\cr \Rightarrow \quad T+U(x)=E\cr }

The total mechanical energy - i.e., the sum of kinetic and potential energy - for a particle moving in a conservative force field, is conserved (constant).

\displaylines{\left ( {dx\over dt}\right ) ^2={2\over m}\lbrack E-U(x)\rbrack }

3.5 Free Fall

\displaylines{m{dv\over dt}=-{GMm\over x^2}\cr \Leftrightarrow \quad m{dv\over dt}v=-{GMm\over x^2}{dx\over dt}\cr \Leftrightarrow \quad \int _0^vmvdv=\int _{x_0}^x-{GMm\over x^2}dx\cr }

Since v(x_0)=0:

\displaylines{{1\over 2}mv^2(x)={GMm\over x}-{GMm\over x_0}}

The potential energy:

\displaylines{U(x)=-\int -{GMm\over x^2}dx=-{GMm\over x}+C=-{GMm\over x}\cr }

Setting C=0 implies U(\infty )=0. The energy theorem then implies:

\displaylines{{1\over 2}mv^2(x)-{GMm\over x}=0-{GMm\over x_0}\cr \Rightarrow \quad {dx\over dt}=\pm \left [ 2GM\left ( {1\over x}-{1\over x_0}\right ) \right ] ^{1/2}\cr }

To find the time:

\displaylines{t=-{1\over \sqrt {2GM}}\int _{x_0}^x\left ( {1\over x'}-{1\over x_0}\right ) ^{-1/2}dx'}

We discard the small term 1/x_0 under the root. Then, after integrating:

\displaylines{t={2\over 3}{1\over \sqrt {2GM}}\left ( x_0^{3/2}-x^{3/2}\right ) }

3.6 Momentum Conservation

The integral of the force over time equals the change of the momentum of the particle during that time.

\displaylines{\bar p_2-\bar p_1=\Delta \bar p=\int _{t_1}^{t_2}\bar Fdt}

For an isolated (closed) system, i.e., a system where only internal forces act, the total momentum is conserved.

In that situation, the following is a constant vector:

\displaylines{\bar p\equiv \bar p_1+\bar p_2}

4. Week 3

4.1 Galilei Transformation

We are considering two inertial frames I and I', where I' moves with the constant velocity \bar u along the x-axis of I.

\displaylines{x'=x-ut\cr y'=y\cr z'=z\cr t'=t\cr m'=m\cr q'=q\cr F'=F\cr }

The first three can be condensed into

\displaylines{\bar r'(t')=\bar r-\bar ut}

Newton's fundamental equation of motion is invariant under a Galilei Transformation.

4.1.1 Velocity Transformation

\displaylines{v_x'=v_x-u\cr v_y'=v_y\cr v_z'=v_z\cr }

4.2 Gravitational and Inertial Mass

\displaylines{m_i=m_g}

5. Symboler i den Specielle Relativitetsteori

Symbol

Betydning

c

Lysets hastighed

L

Længde

s

Referencesystem

\alpha

Vinkel (Alpha)

\beta

Hastighed i forhold til c (Beta)

\gamma

Lorentz-faktor (Gamma)

\lambda

Bølgelængde (Lambda)

\nu

Frekvens (Nu)

\tau

Egentiden (Tau)

6. Uge 4

6.1 Det Specielle Relativitetsprincip

Einsteins første postulat

Alle inertialsystemer er ligeværdige for udførelsen af alle fysiske eksperimenter.

Einsteins andet postulat

I det tomme rum udbreder lyset sig retlinet med hastigheden c i enhver retning og i ethvert inertialsystem.

6.2 Samtidighed

Fysisk definition af samtidighed

To begivenheder, der foregår i punkterne A og B, vil være samtidige, såfremt et lyssignal udsendt fra A, når begivenheden her finder sted, og et lyssignal udsendt fra B, når begivenheden finder sted der, vil nå frem til en iagttager i samme afstand fra A og B til samme tidspunkt.

Fysisk definition af længde

Ved længden af en stang, der bevæger sig i sin længderetning parallelt med en målesok, forstår vi afstanden mellem to mærker afsat på målestokken ud for stangens endepunkter til samme tidspunkt.

6.3 Lysets hastighed

\displaylines{c\equiv 299'792'458m/s}

6.4 Lorentz-faktor

\displaylines{\gamma =\gamma (v)={1\over \sqrt {1-v^2/c^2}}}

6.5 Lorentz-transformationen

\displaylines{x'=\gamma (x-vt)\cr y'=y\cr z'=z\cr t'=\gamma (t-vx/c^2)\cr }

Den omvendte transformation:

\displaylines{x=\gamma (x'+vt)\cr y=y'\cr z=z'\cr t=\gamma (t'-vx'/c^2)\cr }

6.6 Differens-form

\displaylines{\Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)\cr \Delta y'=\Delta y\cr \Delta z'=\Delta z\cr \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^2)\cr }

6.7 Differential-form

\displaylines{dx'=\gamma (dx-vdt)\cr dy'=dy\cr dz'=dz\cr dt'=\gamma (dt-vdx/c^2)\cr }

7. Uge 5

7.1 Kvadrerede former

\displaylines{c^2t'^2-x'^2-y'^2-z'^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2\cr dr^2=dx^2+dy^2+dz^2\cr \Rightarrow \quad c^2dt'^2-dr'^2=c^2dt^2-dr^2\cr \Delta s^2\equiv c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2\cr }

7.2 Den relativistiske hastighedsgrænse

For v=c bliver \gamma -faktoren uendelig, og v>c fører til imaginære værdier for \gamma . Af dette kan vi slutte, at den indbyrdes hastighed af to vilkårlige inertialsystemer må være mindre end lyshastigheden, idet endelige, reelle koordinater i ét system må tilsvare endelige, reelle koordinater i ethvert andet system.

7.3 Længdeforkortningen

\displaylines{L=L_0/\gamma =L_0\sqrt {1-v^2/c^2}}

7.4 Tidsforlængelsen

\displaylines{T=\gamma T_0={T_0\over \sqrt {1-v^2/c^2}}}

7.5 Sammenhængen

\displaylines{T_0={L\over v}={L_0\sqrt {1-v^2/c^2}\over v}\cr T={L_0\over v}\cr }

7.6 Transformation af hastigheder

\displaylines{u_x'={u_x-v\over 1-u_xv/c^2}\cr u_y'={u_y\over \gamma (1-u_xv/c^2)}\cr u_z'={u_z\over \gamma (1-u_xv/c^2)}\cr u_x={u_x'+v\over 1+u_x'v/c^2}\cr u_y={u_y'\over \gamma (1+u_x'v/c^2)}\cr u_z={u_z'\over \gamma (1+u_x'v/c^2)}\cr }

7.7 Dobbler-effekt

Sammenhæng mellem lysets hastighed c, bølgelængde \lambda og frekvens \nu :

\displaylines{c=\lambda \nu }

7.7.1 Relativistisk Dobbler-effekt

\displaylines{{\lambda _{rel}\over \lambda _0}=\sqrt {{1+u/c\over 1-u/c}}\cr {\nu _{rel}\over \nu _0}=\sqrt {{1-u/c\over 1+u/c}}\cr }

7.7.2 Ikke-parallelle hastigheder

\displaylines{{\lambda _{rel}\over \lambda _0}={1+(u/c)\cos \alpha \over \sqrt {1-u^2/c^2}}=\gamma \lbrack 1+(u/c)\cos \alpha \rbrack \cr {\nu _{rel}\over \nu _0}={\sqrt {1-u^2/c^2}\over 1+(u/c)\cos \alpha }={1\over \gamma \lbrack 1+(u/c)\cos \alpha \rbrack }\cr }

8. Uge 6

8.1 Rumtiden

Den invariante 4-dimensionale differentialform:

\displaylines{ds^2\equiv c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}

Differensform:

\displaylines{\Delta s^2\equiv c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2=\Delta t^2\left ( c^2-{\Delta r^2\over \Delta t^2}\right ) }

, hvor \Delta -ledene henviser til to begivenheder P og Q, som ikke nødvendigvis er naboer. Betydningen af \Delta s^2 afhænger af dets fortegn, hvorfor vi har flg. tre tilfælde:

  1. Det simpleste tilfælde er \Delta s^2=0, hvor P og Q jo netop kan forbindes med et lyssignal.
  2. I det tilfælde, hvor \Delta s^2>0, er \Delta r^2/\Delta t^2<c^2 i ethvert inertialsystem. En fysisk partikel, og således også et ur, kan dermed bevæges med jævn hastighed fra P til Q, eller omvendt. I urets hvilesystem S' forekommer P og Q i samme punkt, således at \Delta s^2=c^2\Delta t'^2. Altså er intervallet[/m] \Delta s=\sqrt {\vert \Delta s^2\vert } mellem P og Q i dette tilfælde c gange den forløbne tid (egentiden) på uret, som bevæger sig jævnt og retlinet mellem de to begivenheder.
  3. I det sidste tilfælde, hvor \Delta s^2<0, er \Delta r^2/\Delta t^2>c^2 i ethvert inertialsystem. Dette er situationen, der karakteriserer overlyshastigheder. Der vil gives et inertialsystem S', hvor de to begivenheder sker til samme tidspunkt. I dette system er \Delta s^2=-\Delta r'^2. Intervallet \Delta s er således den rumlige afstand mellem de to begivenheder i det system, hvor de er samtidige. Dette er også den korteste rumlige afstand, der kan tilskrives de to begivenheder i noget inertialsystem.

8.2 Fire-vektorer

Vektorligninger er forminvariante over for valg af referencesystem.

Under standard-Lorentz-transformationer transformerer komponenter af enhver 4-vektor, \bar A, på samme måde som prototypen (c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z), og dermed fås:

\displaylines{A_0'=\gamma (A_0-\beta A_1)\cr A_1'=\gamma (A_1-\beta A_0)\cr A_2'=A_2\cr A_3'=A_3\cr }

, hvor \beta =v/c.

8.3 Regneregler for 4-vektorer

  1. Summen af to 4-vektorer er en 4-vektor.
  2. Produktet af en 4-skalar og en 4-vektor er en 4-vektor.
  3. Differentialkvotienten mellem en 4-vektor og en 4-skalar er en 4-vektor.

4-skalar

En 4-skalar er defineret som en skalar størrelse (et tal), der er invariant over for Lorentz-transformationen og dermed har samme værdi i ethvert inertialsystem.

Kvadratet på en 4-vektor \bar A=(A_0,A_1,A_2,A_3) er defineret ved

\displaylines{\bar A^2=A_0^2-A_1^2-A_2^2-A_3^2}

Størrelsen eller længden af en 4-vektor \bar A skrives \vert \bar A\vert eller A og er defineret ved

\displaylines{A=\sqrt {\vert \bar A^2\vert }\ge 0}

8.3.1 Skalarprodukt

For to givne 4-vektorer \bar A=(A_0,A_1,A_2,A_3) og \bar B=(B_0,B_1,B_2,B_3) er skalarproduktet defineret ved

\displaylines{\bar A\cdot \bar B=A_0B_0-A_1B_1-A_2B_2-A_3B_3}

Skalarproduktet er invariant.

8.4 Fire-vektorers geometri

En 4-vektor er enten tidsagtig, rumagtig eller lysagtig.

Vi kalder en 4-vektor \bar A tidsagtig, hvis \bar A^2>0, lysagtig, hvis \bar A^2=0, og rumagtig, hvis \bar A^2<0.

8.5 Egentiden

Lad os betragte en partikel, som i et inertialsystem S bevæger sig således, at den i det differentielle tidsrum dt tilbagelægger vejen (dx,dy,dz). Bevægelsen er således bestemt ved det differentielle 4-interval

\displaylines{ds=(cdt,dx,dy,dz)}

Kvadratet på ds er den invariante skalar

\displaylines{ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}

Idet c^2 er en invariant, kan vi danne en tredje invariant:

\displaylines{d\tau ^2\equiv {ds^2\over c^2}=dt^2\left \{ 1-{dx^2+dy^2+dz^2\over c^2dt^2}\right \} }

I partiklens øjeblikkelige hvilesystem S' (altså systemet, som i tidsrummet dt følger med partiklen, således at dx'=dy'=dz'=0) reducerer udtrykket til d\tau ^2=dt'^2. Størrelsen d\tau er egentiden.

\displaylines{{d\tau ^2\over dt^2}=1-{u^2\over c^2}}

, hvor u er partiklens øjeblikkelige hastighed i S. Heraf følger sammenhængen

\displaylines{{dt\over d\tau }={1\over \sqrt {1-u^2/c^2}}=\gamma (u)}

9. Week 6

9.1 Work and Kinetic Energy

The work done by a force moving a particle from A to B is defined as:

\displaylines{W_{AB}\equiv \int _A^B\bar F\cdot d\bar r}

The work done by all forces acting on a particle equals the increase in kinetic energy of the particle.

\displaylines{W_{AB}=T_B-T_A\cr \Rightarrow \quad dT=\bar F\cdot d\bar r\cr \Leftrightarrow \quad {dT\over dt}=\bar F\cdot {d\bar r\over dt}=\bar F\cdot \bar v\cr }

9.2 Conservative Force Fields

A force field is called conservative if the force vector \bar F of the field depends only on the position \bar r of the particle and the work integral \int _A^B\bar F\cdot d\bar r is independent of the path of integration, depending only on the initial point A and the final point B, of the path.

\displaylines{\oint \bar F\cdot d\bar r=0}

9.3 Potential Energy and Conservation of Energy

For a particle in a conservative force field, we can introduce the concept of potential energy. The potential energy U=U(\bar r) is a scalar function of the position vector \bar r of the particle.

Choose an arbitrary point P in the force field as the reference point for U. We define the value of U at this point to be zero, U(P)=0. The potential energy at any other point A is now defined through the equation:

\displaylines{U(A)\equiv -\int _P^A\bar F\cdot d\bar r}

The mechanical energy of a particle is conserved for motion in the conservative force field:

\displaylines{T+U=E_0=constant}

The gradient vector for U:

\displaylines{\nabla U=\left ( {\partial U\over \partial x},{\partial U\over \partial y},{\partial U\over \partial z}\right ) \cr \bar F=-\nabla U\cr }

9.4 The Gravitational Field Around a Homogeneous Sphere

The potential energy of a particle with mass m outside a sphere with mass M and radius R:

\displaylines{U(r)=-G{Mm\over r}\quad ,\quad r>R}

Moving inside the sphere, we get:

\displaylines{\bar F(r_1)=-G{Mm\over R^3}\bar r_1\quad ;\quad r_1<R\cr \Rightarrow \quad U(r)=-G{Mm\over 2R}\left ( 3-{r^2\over R^2}\right ) \cr }

If one is interested in characterizing the field around a spherical shell or a solid sphere, it is customary to introduce the gravitational potential \Phi and the field strength \bar g(r) by dividing out the mass m of the test particle:

\displaylines{\Phi (r)\equiv {U(r)\over m}\cr \bar g(r)\equiv {\bar F\over m}\cr }

10. Week 7

10.1 Center-of-Mass

Momentum

The total momentum \bar P og a system of particles is the same as that of a particle with mass M moving with the velocity of the center of mass.

\displaylines{M\bar R_{CM}=\sum _{i=1}^Nm_i\bar r_i}
\displaylines{M\dot {\bar R}_{CM}=\sum _im_i\dot {\bar r}_i=\sum _i\bar p_i\equiv \bar P}

Movement

The center of mass of a system of particles - rigid or non-rigid - moves as if the entire mass were concentrated in that point, and all external forces act there.

\displaylines{\bar P=M\bar v_{CM}}
\displaylines{M\ddot {\bar R}_{CM}=\sum _im_i\ddot {\bar r}_i\cr \Leftrightarrow \quad M\ddot {\bar R}_{CM}=\sum _i\bar F_{ext}\cr \Leftrightarrow \quad M\ddot {\bar R}_{CM}=\bar F^{ext}\quad ;\quad \bar F^{ext}\equiv \sum _i\bar F_{ext}\cr \Leftrightarrow \quad M{d\bar v_{CM}\over dt}=\bar F^{ext}\cr \Leftrightarrow \quad {d\bar P\over dt}=\bar F^{ext}\cr }

Constant Momentum

If no external forces act on a system of particles the total momentum \bar P of the system is a constant vector.

\displaylines{M{d\bar v_{CM}\over dt}=\bar F^{ext}\cr \Leftrightarrow \quad {d\bar P\over dt}=\bar F^{ext}\cr }

10.2 Center-of-Mass Frame

Kinetic Energy

The kinetic energy of a particle system, as seen in an inertial frame, can be written as a sum: the kinetic energy of the particles relative to the CM frame, plus the kinetic energy of a particle with mass equal to the total mass of the system and moving with the CM velociry.

\displaylines{T={1\over 2}Mv_{CM}^2+\sum _i{1\over 2}m_i(v_{ri}^2)}

10.3 König's Theorem

\displaylines{\Rightarrow \quad T={1\over 2}Mv_{CM}^2+T_r\cr }

11. Week 8 Newtonian Mechanics

11.1 Inelastic Collision

Momentum is conserved. The velocity u after the collision:

\displaylines{mv=(M+m)u\cr \Leftrightarrow \quad u={mv\over M+m}\cr }

The mechanical kinetic energy T_a after the collision:

\displaylines{T_a={1\over 2}(m+M)u^2={m^2v^2\over 2(m+M)}}

The amount Q of initial kinetic energy which has been converted into heat:

\displaylines{Q={1\over 2}mv^2-T_a={Mmv^2\over 2(m+M)}}

The translational kinetic energy in the lab frame before and after the collision:

\displaylines{v_{CM}={P\over m+M}={mv\over m+M}\cr \Rightarrow \quad T_{trans}={1\over 2}(m+M)v_{CM}^2={P^2\over 2(M+m)}={m^2v^2\over 2(M+m)}}

The relative kinetic energy T_r before the collition. T_r is the kinetic energy in the CM frame:

\displaylines{T_r={1\over 2}mv^2-T_{trans}={mMv^2\over 2(m+M)}}

12. Uge 8 Specielle Relativitetsteori

12.1 Fire-hastigheden

En partikels 4-hastighed \bar U er defineret som den afledede af 4-sted-vektoren \bar X=(ct,x,y,z) med hensyn til egentiden \tau :

\displaylines{\bar U\equiv {d\bar X\over d\tau }=\left ( c{dt\over d\tau },{dx\over d\tau },{dy\over d\tau },{dz\over d\tau }\right ) \cr \Rightarrow \quad \bar U=(\gamma c,\gamma u_x,\gamma u_y,\gamma u_z)\quad ;\quad \gamma \equiv \gamma (u)\cr \Leftrightarrow \quad \bar U=\gamma (u)(c,\bar u)\cr }

Kvadratet på 4-hastigheden giver:

\displaylines{U^2=c^2}

12.2 Den nye mekaniks aksiomer

12.2.1 4-impuls

\displaylines{\bar P=m\bar U}

Da U^2=c^2 får vi umiddelbart for enhver 4-impuls:

\displaylines{P^2=m^2c^2}

Ved anvendelse af komponent-formen for \bar U:

\displaylines{\bar P=m\bar U=m\gamma (u)(c,\bar u)\equiv (\gamma (u)mc,\bar p)}

hvor der er indført notaionen:

\displaylines{\bar p=\gamma (u)m\bar u}

12.2.2 Fire-impuls-bevarelse

Ved anvendelse af komponentformen for \bar P kan den grundlæggende bevarelses-sætning udtrykkes som to separate sætninger, nemlig bevarelsen af den relativistiske impuls

\displaylines{\sum _{i=1,N^{før}}\bar P_i=\sum _{j=1,N^{efter}}\bar P_j}

og bevarelse af størrelsen \gamma (u)m

\displaylines{\sum _{i=1,N^{før}}\gamma (u_i)m_i=\sum _{j=1,N^{efter}}\gamma (u_j)m_j}

12.3 Relativistisk energi

12.3.1 Hvileenergi

\displaylines{E_0=mc^2}

12.3.2 Totalenergi

\displaylines{E=\gamma mc^2}

12.3.3 Kinetisk energi

\displaylines{T=E-E_0\cr \Leftrightarrow \quad T=(\gamma -1)mc^2\cr }

12.3.4 4-impulsen

Med udtrykket for den totale energi tager 4-impulsen den vigtige form

\displaylines{\bar P=(E/c,\bar p)}

12.3.5 Sammenhængen mellem en partikels hastighed, impuls og energi

\displaylines{\bar p={E\over c^2}\bar u}

12.4 Sammenhængen mellem energi og impuls

12.4.1 Kvadratet på 4-impulsen

\displaylines{P^2=\bar P\cdot \bar P=E^2/c^2-p^2}

I partiklens hvilesystem, hvor p=0\land E=mc^2, reducerer udtrykket til

\displaylines{P^2=m^2c^2}

Da P^2 imidlertid er invariant, er de to udtryk ækvivalente, således at

\displaylines{E^2=p^2c^2+m^2c^4}

Da E er en positiv størrelse, har vi

\displaylines{E=T+mc^2=\sqrt {p^2c^2+m^2c^4}}

13. Uge 9

13.1 Masseløse partikler

For masseløse partikler såsom fotoner, er m=0, og derfor gælder E^2=p^2c^2, og dermed

\displaylines{p=E/c}

4-impulsen bliver så

\displaylines{\bar P=E/c(1,\bar n)}

, hvor \bar n er enhedsvektoren, der beskriver partiklens bevægelsesretning.

13.2 Doppler-effekten fra transformationen af fotonens 4-impuls

En fotons energi er proportional med dens frekvens

\displaylines{E=h\nu }

, hvor proportionalitetskonstanten h er Planck's konstant.

Planck's konstant
\displaylines{h=6.6260693\times 10^{-34}J\cdot s=4.13566743\times 10^{-15}eV\cdot s}

Værdien af Dirac's konstant (også kendt som den reducerede Planck konstant):

\displaylines{\hbar \equiv {h\over 2\pi }=1.05457168\times 10^{-34}J\cdot s=6.58211915\times 10^{-16}eV\cdot s}

13.3 Tyngdepunktssystemet og den invariante masse

Lad os betragte et vilkårligt inertialsystem S og i dette et system af partikler, der lejlighedsvist vekselvirker via sammenstød. Systemets totale energi, totale impuls og totale 4-impuls defineres som den øjeblikkelige sum over de tilsvarende størrelser hver for partiklerne:

\displaylines{E=\sum _iE_i\quad ,\quad \bar p=\sum _i\bar p_i\quad ,\quad \bar P=\sum _i\bar P_i=\sum _i(E_i/c,\bar p_i)=(E/c,\bar p)}

I tyngdepunktssystemet er systemets 4-impuls givet ved

\displaylines{\bar P_{CM}=(Mc,\bar 0)}

13.3.1 Invariant masse

, hvor M er systemets invariante masse og er givet ved

\displaylines{Mc=\sqrt {P^2}=\sqrt {E^2/c^2-p^2}}

For et isoleret system er den invariante masse bevaret.

13.4 Energienheden elektronvolt

Energienheden elektronvolt
\displaylines{1eV=1.6022\times 10^{-19}J}

13.5 Tærskelenergien

Vi betragter produktion af proton-antiproton-par gennem reaktionen

\displaylines{p+p\to p+p+(p+\bar p)}

Ifølge 4-impulsbevarelsen gælder der

\displaylines{\bar P_1+\bar P_2=\bar P_f}

, hvor \bar P_f er den totale impuls af sluttilstanden.

\displaylines{\Rightarrow \quad P_1^2+P_2^2+2\bar P_1\cdot \bar P_2=16M^2c^2\cr \Rightarrow \quad \bar P_1\cdot \bar P_2=7M^2c^2\cr \bar P_1=(Mc,\bar 0)\cr \bar P_2=(E/c,\bar p)\cr \Rightarrow \quad \bar P_1\cdot \bar P_2=EM\cr \Rightarrow \quad E=7Mc^2\cr }

13.6 Bindingsenergi

Et systems bindingsenergi er defineret som forskellen i hvileenergien mellem de adskilte bestanddele og det sammensatte system:

\displaylines{E_B=\{M(frie)-M(bundne)\}c^2}

NicomDoc - 9-Nov-2006 - niclasen@fys.ku.dk