Student's t-fordeling  med n frihedsgrader, f[n,x]:

f[n_, x_] := 
      Gamma[((n + 1)/2)]/((Sqrt[n π]) Gamma[(n/2)]) 
        (((1 + (((x^2)/n))))^(-((n + 1)/2)))

Tilfaeldet med 1 frihedsgrad:

f[n,x] /. n ->1

μ  =  0;

σσ  =  
      (∫_(-∞)^∞)(((x - μ))^2) 
          f[1, x] \[DifferentialD]x

t-fordelingen med 1 frihedsgrad, har middelværdien 0,
og variansen uendelig.

F[n_, x_] :=  
      (∫_(-∞)^x) f[n, y] \[DifferentialD]y

g1=Plot[{f[1,x],F[1,x],1},{x,0,4}]

Fordelingen med 2 frihedsgrader har middelværdien 2,
og variansen uendelig:

f[n,x] /. n -> 2

σσ  =  
      (∫_(-∞)^∞)(((x - μ))^2) 
          f[2, x] \[DifferentialD]x

g2=Plot[{f[2,x],F[2,x],1},{x,0,4}]

f[n,x] /. n ->3

σσ  =  
      (∫_(-∞)^∞)(((x - μ))^2) 
          f[3, x] \[DifferentialD]x

f[n,x] /. n ->4

σσ  =  
      (∫_(-∞)^∞)(((x - μ))^2) 
          f[4, x] \[DifferentialD]x

Plot[{f[1,x],f[2,x],f[3,x],f[4,x]},{x,0,4}]

Fordelingen kommer tættere og tættere på Gauss-fordelingen 
med μ = 0 når antallet af frihedsgrader vokser. Variansen 
divergerer for n=1 og 2, men er 3 for n=3, 2 for n=4, og generelt
er variansen = n/(n-2) -> 1 for n -> ∞.

g[x_] := 
      (1/(Sqrt[2  π σσ])) 
        Exp[-((((x - μ))^2)/(2  σσ))]

f[n,x] /. n ->10

σσ  =  
      (∫_(-∞)^∞)(((x - μ))^2) 
          f[10, x] \[DifferentialD]x

Plot[{f[10,x],g[x]},{x,-3,3}]

f[n,x] /. n ->20

σσ  =  
      (∫_(-∞)^∞)(((x - μ))^2) 
          f[20, x] \[DifferentialD]x

Plot[{f[20,x],g[x]},{x,-3,3}]

Her følger nu en udregning af forholdet mellem c, bestemt
ud fra t-fordelingen (med n-1 frihedsgrader), og det tilsvarende
c bestemt ud fra normal fordelingen (hvis variansen kendes).
Første tilfælde svarer til γ = 68,26 %, eller 
(1+γ)/2=0.8413=d

<<Statistics`ContinuousDistributions`

<<Statistics`DescriptiveStatistics`

d=0.8413; a=Quantile[NormalDistribution[0,1],d]

y1=Table[{i,Quantile[StudentTDistribution[i-1],d]/a},{i,2,20}]

g1=ListPlot[y1,PlotStyle->{PointSize[0.018],RGBColor[1,0,0]}]

Dernæst følger γ = 95 % (d = 0.975)

d=0.975; a=Quantile[NormalDistribution[0,1],d]

y2=Table[{i,Quantile[StudentTDistribution[i-1],d]/a},{i,2,20}]

g2=ListPlot[y2,PlotStyle->{PointSize[0.018],RGBColor[0,0,1]}]

De to kurver kan sammenlignes med, at t-fordelingens varians
er Sqrt(n-1/n-3), dvs. at en grov vurdering af c i confidens-
intervalbestemmelsen er denne faktor gange c bestemt fra
den normale fordeling.

g[x_] = (Sqrt[((x - 1)/(x - 3))]);

g3=Plot[{0,1,g[x]},{x,4,20}]

Show[g1,g2,g3]