Student's t-fordeling  med n frihedsgrader, f[n,x]:

f[n_,x_]:=(1/Sqrt[n Pi])(Gamma[(n+1)/2]/Gamma[n/2])*
(1+x^2/n)^(-(n+1)/2)

Tilfaeldet med 1 frihedsgrad:

f1[x_]=f[n,x] /. n ->1

mu=0;

sig2=2 Integrate[x^2 f1[x],{x,0,Infinity}] - mu^2

t-fordelingen med 1 frihedsgrad, har middelvaerdien 0,
og variansen uendelig.

F1[x_]:=Integrate[f1[y],{y,-Infinity,x}]

g1=Plot[{f1[x],F1[x],1},{x,0,4}]

Fordelingen med 2 frihedsgrader har middelvaerdien 2,
og variansen 4:

f2[x_]=f[n,x] /. n -> 2

sig2=2 Integrate[x^2 f2[x],{x,0,Infinity}] - mu^2

F2[x_]:=Integrate[f2[y],{y,-Infinity,x}]

g2=Plot[{f2[x],F2[x],1},{x,0,4}]

f3[x_]=f[n,x] /. n ->3

sig2=2 Integrate[x^2 f3[x],{x,0,Infinity}] - mu^2

f4[x_]=f[n,x] /. n ->4

sig2=2 Integrate[x^2 f4[x],{x,0,Infinity}] - mu^2

Plot[{f1[x],f2[x],f3[x],f4[x]},{x,0,4}]

Fordelingen kommer taettere og taettere paa Gauss-fordelingen 
med mu = 0 naar antallet af frihedsgrader vokser. Variansen 
divergerer for n=1 og 2, men er 3 for n=3, 2 for n=4, og generelt
er variansen = n/(n-2) -> 1 for n -> uendelig.

f10[x_]=f[n,x] /. n ->10

sig2=2 Integrate[x^2 f10[x],{x,0,Infinity}] - mu^2

fg[x_]:=(2 Pi sig2)^(-1/2) Exp[-0.5(x-mu)^2/sig2]

Plot[{f10[x],fg[x]},{x,-3,3}]

f20[x_]=f[n,x] /. n ->20

sig2=2 Integrate[x^2 f20[x],{x,0,Infinity}] - mu^2

Plot[{f20[x],fg[x]},{x,-3,3}]

Her foelger nu en udregning af forholdet mellem c, bestemt
ud fra t-fordelingen (med n-1 frihedsgrader), og det tilsvarende
c bestemt ud fra normal fordelingen (hvis variansen kendes).
Foerste tilfaelde svarer til gamma = 68,26 %, eller 
(1+gamma)/2=0.8413=d

<<Statistics`ContinuousDistributions`

<<Statistics`DescriptiveStatistics`

d=0.8413; a=Quantile[NormalDistribution[0,1],d]

y1=Table[{i,Quantile[StudentTDistribution[i-1],d]/a},{i,2,20}]

g1=ListPlot[y1,PlotStyle->{PointSize[0.018],RGBColor[1,0,0]}]

Dernaest foelger gamma = 95 % (d = 0.975)

d=0.975; a=Quantile[NormalDistribution[0,1],d]

y2=Table[{i,Quantile[StudentTDistribution[i-1],d]/a},{i,2,20}]

g2=ListPlot[y2,PlotStyle->{PointSize[0.018],RGBColor[0,0,1]}]

De to kurver kan sammenlignes med, at t-fordelingens varians
er Sqrt(n-1/n-3), dvs. at et grov vurdering af c i confidens-
intervalbestemmelsen er denne faktor gange c bestemt fra
den normale fordeling.

g[x_]=Sqrt[(x-1)/(x-3)];

g3=Plot[{0,1,g[x]},{x,4,20}]

Show[g1,g2,g3]