Afsnit 18.3 opgave 3, 7, 9, 11

Den foerste opgave (3) er at finde Lagrange polynomiet p2(x), 
som tilnaermer gamma-funktionen:

Clear[x0,x1,x2,f0,f1,f2];

L0[x_]=(x-x1)(x-x2)/((x0-x1)(x0-x2));
L1[x_]=(x-x0)(x-x2)/((x1-x0)(x1-x2));
L2[x_]=(x-x0)(x-x1)/((x2-x0)(x2-x1));

p2[x_]=f0 L0[x] + f1 L1[x] + f2 L2[x]

x0=1;x1=1.02;x2=1.04;
f0=1;f1=0.9888;f2=0.9784; 
p2[x]

Simplify[p2[x]]

g3=Plot[Gamma[x]-p2[x],{x,0.9,1.1}]

Mere praecis regning (uden afrundingsfejl)

f1=Gamma[1.02]

f2=Gamma[1.04]

p2[x]

Simplify[p2[x]]

g4=Plot[Gamma[x]-p2[x],{x,0.9,1.1}, 
PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]

Show[g3,g4]

Bemaerk at afvigelserne begynder at vokse kraftigt, naar der ekstrapoleres,
og at afvigelsen i foerste tilnaermelse er et tredie grads polynomium.

Naeste eksempel er opgave 7, hvor f(x) = erf(x):

Clear[x0,x1,x2,f0,f1,f2];
L0[x_]=(x-x1)(x-x2)/((x0-x1)(x0-x2));
L1[x_]=(x-x0)(x-x2)/((x1-x0)(x1-x2));
L2[x_]=(x-x0)(x-x1)/((x2-x0)(x2-x1));
p2[x_]=f0 L0[x] + f1 L1[x] + f2 L2[x];
x0=0.25;x1=0.5;x2=1.0;
f0=0.27633;f1=0.52050;f2=0.84270; 
p2[x]

Simplify[p2[x]]

g5=Plot[Erf[x]-p2[x],{x,0.1,1.5}]

Afrundingsfejlen er uden betydning i dette tilfaelde.

I opgave 9 skal "Newton's forward difference formula" benyttes til at udregne
gamma-funktionen for x = 1.01, 1.03, og 1.05).
BEMAERK, at (forward) difference formlen kun kan benyttes naar intervallet er
opdelt i AEKVIDISTANTE punkter.
De korrekte resultater (6D) er:

Gamma[1.01]

Gamma[1.03]

Gamma[1.05]

I opgave 11 skal "fejl-funktionen" erf(x) tilnaermes med p2(x) udregnet vha.
"Newton's divided difference formula", som derefter kan benyttes ved 
interpolation eller ekstrapolation.
BEMAERK at afstanden mellem x-vaerdierne ikke er aekvidistante i dette
tilfaelde.