Laplace transformationer

<<Calculus`LaplaceTransform`

Indlaeser  Mathematica's Laplace transformation package

Clear[s,t,f,F]

f[t_]  =  b  +  a t  +  (t^2);

F[s_]  =  
      (∫_0^∞) f[t]  (E^(-s t)) 
          \[DifferentialD]t

F[s] = %  /.  Re[s] > 0  ->  True

Expand[F[s]]

Direkte udregning af Laplace Integralet. Det giver samme resultat som Mathematica's Laplace transformation. Bemærk at det er vigtigt her at   "s"  er en positiv parameter.

LaplaceTransform[f[t],t,s]

InverseLaplaceTransform[F[s],s,t]

Clear[f,F]

Forsøg med andre funktioner.  Fx   Cos[a t],   Cosh[a t],   (Cos^3)[a t],  (Cos^2)[a t] - (Sin^2)[a t]:

f[t_] :=  Cos[a t]^3

F[s_]  =  
      (∫_0^∞) f[t]  (E^(-s t)) 
          \[DifferentialD]t;

F[s] = %  /.  Im[a] == 0 && Re[s] > 0  ->  True

F[s_] = LaplaceTransform[f[t],t,s]

Mathematica 3 og 4 ved  hvordan (Cos^3)[a t] transformeres, det var ikke tilfældet med version 2, hvor man måtte igennem en omskrivning.

InverseLaplaceTransform[F[s],s,t]

Factor[%,Trig->True]