Laplace transformationer

<<Calculus`LaplaceTransform`

Indlaeser  Mathematica's Laplace transformation package

Clear[f,F]

s > 0;

f[t_] := b + a t + t^2

F[s_] = Integrate[Exp[-s t] f[t], {t, 0, Infinity}]

Direkte udregning af Laplace Integralet. Det giver samme resultat som Mathematica's
Laplace transformation. Bemaerk at det er vigigt her at   "s"  er en positiv parameter.

Expand[F[s]]

LaplaceTransform[f[t],t,s]

InverseLaplaceTransform[F[s],s,t]

Clear[f,F]

Forsoeg med andre funktioner. 
Fx         Cos[a t],   Cosh[a t],   Cos[2a t],  Cos[a t]^2 - Sin[a t]^2

Proceduren 
Expand[ "potenser af trigonometriske funktioner", Trig -> True] 
vil klare det sidste tilfaelde.  Eksempelvis:

f[t_] := Cos[a t]^3

F[s_] = Integrate[Exp[-s t] f[t], {t, 0, Infinity}]

F[s_] = LaplaceTransform[f[t],t,s]

Mathematica ved ikke hvordan Cos[a t]^3 transformeres, 
men foelgende omskrivning klarer problemet:

f[t_]:=Expand[Cos[a t]^3 , Trig->True]

Print["f(t) = ",f[t]]

F[s_] = LaplaceTransform[f[t],t,s]

InverseLaplaceTransform[F[s],s,t]

Factor[%,Trig->True]

som er identisk med Cos[a t]^3