Numerisk integration

Clear[f,F,x,h,a,b]

f[x_]=Exp[-x^2];

a=0; 
b=1;
n=10;
h=(b-a)/n;
F=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],10]

Rektangel metoden

JR=h(Sum[f[a+(i-0.5)h],{i,1,n}])

Trapez metoden

JT = N[ h(0.5(f[a]+f[b])+Sum[f[a+i h],{i,1,n-1}]), 10]

Simpson metoden

s0 = N[f[a]+f[b], 10]

s1 = N[ Sum[f[a+(2i-1)h],{i,1,n/2}], 10]

s2 = N[ Sum[f[a+2i h],{i,1,n/2-1}], 10]

JS = N[ (h/3)(s0 + 4s1 + 2s2), 10]

Fejlene i de tre tilfælde er

eR=F-JR //N

eT=F-JT //N

eS=F-JS //N

Beregning af fejl i trapez og Simpson tilfaeldene: 
epsilon = -  [f'(b) - f'(a)] h^2  / 12  i trapez-tilfaeldet
epsilon = -  [f'''(b) - f'''(a)] h^4 /180 i Simpson's algoritme

df[x_]=D[f[x],x]; d2f[x_]=D[df[x],x]; d3f[x_]=D[d2f[x],x]

epsT=-(df[b]-df[a])h^2/12 //N

epsS=-(d3f[b]-d3f[a])h^4/180 //N

Bemærk at de beregnede fejl, epsT og epsS, er tæt på de
rigtige værdier, dvs. adderes de til resultaterne udledt i de 
respektive tilfælde  fås en klar forbedring af nøjagtigheden.

JT0=N[JT+epsT,10]

eT0=F-JT0 //N

JS0=N[JS+epsS,10]

eS0=F-JS0 //N