Sandsynlighedstæthedsfunktionen for (χ^2) = x, med n frihedsgrader, f[n,x]:

f[n_, x_] := 
      (1/(2  Gamma[(n/2)])) ((((x/2)))^((n/2) - 1)) 
        (E^(-(x/2)))

Tilfældet med 1 frihedsgrad:

f[n,x] /. n ->1

μ = (∫_0^∞) x f[1, x] \[DifferentialD]x

σσ = 
      (∫_0^∞)(((x - μ))^2) f[1, x] 
          \[DifferentialD]x

(χ^2)-fordelingen med 1 frihedsgrad, har middelværdien 1,
og variansen 2

F[n_, x_] := (∫_0^x) f[n, y] \[DifferentialD]y

g1=Plot[{f[1,x],F[1,x],1},{x,0,4}]

Fordelingen med 2 frihedsgrader har middelværdien 2,
og variansen 4:

f[n,x] /. n -> 2

μ = (∫_0^∞) x f[2, x] \[DifferentialD]x

σσ = 
      (∫_0^∞)(((x - μ))^2) f[2, x] 
          \[DifferentialD]x

g2=Plot[{f[2,x],F[2,x],1},{x,0,6}]

f[n,x] /. n ->3

f[n,x] /. n ->4

Plot[{f[1,x],f[2,x],f[3,x],f[4,x]},{x,0.1,10}]

Fordelingen kommer tættere og tættere på Gauss-fordelingen 
med μ = n og variansen (σ^2) = 2n, når antallet af 
frihedsgrader n vokser (her følger n = 10 og 20)

g[x_] := 
      (1/(Sqrt[2  π σσ])) 
        Exp[-((((x - μ))^2)/(2  σσ))]

f[n,x] /. n ->10

μ = (∫_0^∞) x f[10, x] \[DifferentialD]x

σσ = 
      (∫_0^∞)(((x - μ))^2) f[10, x] 
          \[DifferentialD]x

Plot[{f[10,x],g[x]},{x,0,20}]

f[n,x] /. n ->20

μ = (∫_0^∞) x f[20, x] \[DifferentialD]x

σσ = 
      (∫_0^∞)(((x - μ))^2) f[20, x] 
          \[DifferentialD]x

Plot[{f[20,x],g[x]},{x,0,40}]