Numerisk integration af Laplace's ligning
Afsnit 20.4 opgave 9

Clear[x,y,u,U]

U[x_,y_] = x^4 - 6 x^2 y^2 + y^4;

Plot3D[U[x,y],{x,0,3},{y,0,3}]

W=Table[U[4-i,j-1],{i,4},{j,4}];

MatrixForm[W]

Do[u[i,j]=U[i,j],{i,0,3},{j,0,3}]

u[1,1]=u1; u[2,2]=u2; u[2,1]=u3; u[1,2]=u4;

Eqn:={
4u[1,1]==u[0,1]+u[1,2]+u[2,1]+u[1,0],
4u[2,1]==u[1,1]+u[2,2]+u[3,1]+u[2,0],
4u[1,2]==u[0,2]+u[1,3]+u[2,2]+u[1,1],
4u[2,2]==u[1,2]+u[2,3]+u[3,2]+u[2,1]}

Solve[Eqn,{u[1,1],u[2,1],u[1,2],u[2,2]}]

Den numeriske loesning er 2 stoerre end den eksakte loesning
i alle de fire punkter.

Eksakt loesning af svingende streng 
(opgave 1 i afsnit 20.7)

Clear[f,x,F]

f[x_]=0.1 x(1-x);

Do[{B[2i-1]=NIntegrate[2 f[x] Sin[(2i-1)Pi x],{x,0,1}],
B[2i]=0},{i,20}]

F[x_,t_]:=Sum[B[n] Cos[n Pi t] Sin[n Pi x],{n,1,40}]

Plot3D[F[x,t],{x,0,1},{t,0,2}]

w=Table[{0.2i,N[F[0.2,0.2i]],N[F[0.4,0.2i]]},{i,10}];

TableForm[w]

1.  raekke i tabellen angiver t, 2. og 3.  raekke er funktionsvaerdierne 
for henholdsvis x = 0.2 og x=0.4.   
Dette er ikke helt den eksakte loesning i den forstand, at der kun 
er benyttet et begraenset antal Fourier komponenter (her 40). 
Den numeriske loesning i opgave 1 Afsnit 20.7 er i virkeligheden 
identisk med den eksakte, svarende til eksempel 1 i kapitlet.