Numerisk integration (Eksempel i Afsnit 17.5)

Clear[f, F, x, h, a, b]

f[x_] = (E^(-(x^2)));

\(a = 0; \ 
b = 1; 
n = 10; 
h = \((b - a)\)/n; 

    F = N[∫\_a\%b f[x] \[DifferentialD]x\ , \ 10]\)

Rektangel metoden

(Subscript[J, R]) = 
      N[ h (∑_(i = 1)^n) f[a + (i - (1/2)) h] ,  10 ]

Trapez metoden

(Subscript[J, T]) =  
      N[ h (((f[a] + f[b])/2) + (∑_(i = 1)^(n - 1))f[a + i h])
             ,  10 ]

Simpson metoden

(Subscript[s, 0]) = N[ f[a] + f[b],  10]

(Subscript[s, 1])  =  
      N[  (∑_(i = 1)^((n/2)))f[a + (2  i - 1 ) h],  10]

(Subscript[s, 2])   =  
      N [ (∑_(i = 1)^((n/2) - 1))f[a + 2  i h],  10]

(Subscript[J, S])   =  
      N[ (h/3) ((Subscript[s, 0])  +  4  (Subscript[s, 1])  +  2 (Subscript[s, 2])),  10]

Fejlene i de tre tilfælde er

(Subscript[ϵ, R])  =  F  -  (Subscript[J, R])  // N

(Subscript[ϵ, T])  =  F  -  (Subscript[J, T])   // N

(Subscript[ϵ, S])  =  F  -  (Subscript[J, S])   // N

Beregning af fejlen i trapez og Simpson tilfældene: 
ϵ = -  [f'(b) - f'(a)]  ((h^2)/12)  i trapez-tilfaeldet
ϵ = -  [f'''(b) - f'''(a)](( (h^4) )/( 180)) i Simpson's algoritme

f'[x]

f''[x]

f'''[x]

(Subscript[ϵ, Tc]) = 
      -  (f'[b]  - f'[a]) ((h^2)/12) // N

(Subscript[ϵ, Sc]) = 
      -  (f'''[b]  - f'''[a]) ((h^4)/180) // 
        N

Bemærk at de beregnede fejl,  (Subscript[ϵ, Tc]) og (Subscript[ϵ, Sc]) , er tæt på de
rigtige værdier, dvs. adderes de til resultaterne udledt i de 
respektive tilfælde  fås en klar forbedring af nøjagtigheden:

(Subscript[J, T0])  =  N[ (Subscript[J, T])  +  (Subscript[ϵ, Tc]) ,  10]

(Subscript[ϵ, T0])  =  F  -  (Subscript[J, T0])  // N

(Subscript[J, S0])  =  N[ (Subscript[J, S])  +  (Subscript[ϵ, Sc]) ,  10]

(Subscript[ϵ, S0])  =  F  -  (Subscript[J, S0])  // N